x

x属于A*的次数 实验次数n
• 对所有 x U ，求x对A的隶属度，画出隶属函数曲线。
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6.1.3 模糊综合评价的计算
确定模糊关系矩阵
将各个子因素的得分代入模糊隶属函数，计算模糊关系矩阵R。用来描述每一个被评价
的对象，评价因素和评价等级之间的模糊关系。
r11 r12 r1n
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模糊集合的定义：设U是全集，U上的一个模糊集合A由U上的一个实值函数表示：
A :U [0，1]
对于x U，A(x) 称为x对A的隶属度，而 A 称为A的隶属函数。为方便起见，U上的模糊 集的全体记为 F(U )，A(x) 也记为 A(x) 。
这样，我们不再简单地问x绝对属于还是不属于A，而是问在多大程度上属于A。 例如，对于“年轻”这个模糊概念，以年龄为论域，取U=[0，200]。查德给出隶属函
• 进行调查统计，得到U的一个运动着的，边界可变的普通集合A*，在每一次实验 之下，A*应该是一个确定的普通集合，但在不同次的实验中，A*的边界又可能 是不同的，因而把A*作为U中一个可运动的普通集合。
• 作n次实验，对给定元素 x U ，计算出x对A的隶属频率。实验证明，随着n的
增大，隶属频率会呈现稳定性。频率稳定所在的那个数，称为x对A的隶属度；
数为：
模糊综合评估法（Fuzzy Comprehensive Evaluation，FCE）正是基于这一思想而形
成的评估方法。它应用模糊关系合成原理，从多个因素对被评事物隶属等级状况进行
综合性评价。适用于有模糊概念而又可以量化的场合。
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6.1.2 模糊综合评价模型的建立
建立因素集U
因素集是以影响评价对象的各种因素为元素组成的一个普通集合，其中各元素通常都 具有不同程度的模糊性，用大写字母U表示，即 U {u1，u2， ，um}
例如“评价项目”就是一个因素集：{足够的业务知识，工作能力强；能鼓舞士气，带 领团队攻克难关…}
建立权重集A
为了反映各个因素的重要程度，就要对每个因素赋予一个相应的权重。如果因素集当 中分为主因素和子因素，那么在赋予权重时，应该分级进行。
• 例如，用模糊集A表示学生集合上的“三好生”，学生x属于“三好生”的隶属 度等于x属于德智体美劳5个因素的隶属度的加权平均。
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− 模糊统计法。也称为模糊统计实验，就是根据所提出的模糊概念，给出表示它的模 糊集，进行调查统计，以确定每一元素对该模糊集的隶属度，一般步骤如下：
• 给定论域U。例如对“青年人”，不妨取U=（0，100）（单位：岁）；
1965年，美国加利福尼亚大学自动控制专家查德（L A Zadeh）教授发表了著名的论 文“模糊集合”，力图用定量、精确的数学方法去处理模糊性现象，模糊数学从此诞 生。它把数学的应用范围从精确现象扩大到了模糊现象的领域。
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经典集合论中，设U是全集（论域）， （A是U的一个子集），定义映射 A :U {0，1}，
6.1 模糊综合评估
某公司请25名关键员工进行了关于三位副经理工作满意度的调查，以下是调查问卷 的统计结果（每一个格中的数字表示在该评价项目上，选择相应评价等级的投票数） ，假定总经理空缺，需从三位副经理中提升，依据调查结果，哪一位是合适的人选？
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6.1.1 模糊综合评价的数学背景
令：

A
(x)

1，（当x 0，（当x
A） A）
称 A 为集合A的特征函数，这个特征函数明确表示了集合A。
U
1
A
0
模糊集合的基本思想是将普通集合中的特征函数灵活化，使元素对集合的从属程度从 只能取0或1扩充到[0，1]中的任一数值。
一个元素x和一个集合A的关系，不一定是绝对的“属于”或者“不属于”，而需要考 虑它属于的程度是多少。
例如，权重集可以为A=（0.15，0.1，0.1，0.15，0.1，0.1，0.15，0.15）。
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建立评价集V
评价结果要有具体的标准，评价集是对所有可能出现的评价结果的集合。评价集用 V={v1，v2，…，vm}来表示，其中vi 为可能的评价结果。可以结合具体的背景给出评价 集的详细说明，以利于评判的进行。
在信息分析中，我们所面临的研究对象均有多种属性，它们共同反映了研究对象的特 征，所以在评价时不能只考虑一种因素，必须从各个方面综合加以考虑，特别是对那 些比较复杂的研究对象更应如此。
此外，在评价当中，人们往往采用模糊的概念描述事物和现象，例如“很好”。对于 明确的概念，在数学中常常采用（经典）集合论来表示，但对于这些在一定场合不具 有明确外延的模糊概念就不适于用这种方式定量。
接下来需要根据评价集V建立各等级的隶属函数来确定不同分数属于各个等级的隶属度
。只有借助隶属函数才有可能对模糊信息加以量化。
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隶属函数的确定方法目前主要有专家评分法、模糊统计法、二元对比排序法、滤波函 数法等多种。
− 专家评分法。典型例子是体操比赛中裁判对运动员的评分。运动员“技术好”是运 动员集合上的一个模糊集。某运动员“技术好”的评分就是所有评分的平均值，这 就是这个运动员“技术好”的隶属度。为了区别专家的学术水平和经验的多少，可 以采用加权平均法。
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− 因素加权综合法。假若某模糊概念是由若干因素相互作用而成，而每个因素本身又 是模糊的。此时将论域U表示为n个因素集的笛卡儿积 U U1 U2 Un 。U上的模 糊集A是由Ai（i=1，2，…，n）复合而成，则：
n
• 其中，i 1 ， i 反映了第i个因素的重要程度。 i1
例如，可设评价集V =｛v1，v2，v3，v4｝=｛好，较好，一般，较差｝。
建立模糊隶属函数
建立了因素集、权重集和评价集以后，就可以对评价对象进行评分。除了根据某些已 有数据以外，一般采用调查表的方式由相关人员分别填写，然后汇总。得到的是多个 评价因素的模糊信息，例如优、良、中、差等的集合。