Z (t )的均值: E[ Z (t )] = E[ A ⋅ X (t ) ⋅ Y (t )] = E[ A] ⋅ E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )] = 2 E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )]
2 mX = RX (∞) = lim
2 cos ω0τ = 0 → mX = 0 τ →∞ eτ
⎡ 2 1.3 0.4 __ ⎤ ⎢ __ 2 1.2 0.8⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0.4 1.2 __ 1.1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.9 __ __ 2 ⎦ 3.12 解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到： ⎛ 2 1.3 0.4 0.9 ⎞ ⎜ 1.3 2 1.2 0.8 ⎟ ⎟ C= ⎜ ⎜ 0.4 1.2 2 1.1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.9 0.8 1.1 2 ⎠ 3.13
= E[100 sin 2 (ω 0 t + θ ) ×100 sin 2 (ω 0 t + ω 0τ + θ ) ] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) − cos(4ω 0 t + 2ω 0τ + 4θ )] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) ] ∴ R Z (τ ) 仅与 τ 有关，且均值为常数，故 Y(t ) 是平稳过程。
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
2 2 3.14 对于两个零均值广义平稳随机过程 X ( t ) 和 Y ( t ) ， 已知 σ X = 5 ，σY = 10 ，
问下述函数可否作为自相关函数，为什么？ （1） RX (τ ) = 5u (τ ) exp ( −3τ ) ； （3） RY (τ ) = 9 (1 + 2τ 2 ) ； ⎡ sin ( 3τ ) ⎤ （5） RX (τ ) = 5 ⎢ ⎥ ； ⎣ 3τ ⎦ （6） RX (τ ) = 5 exp(− τ ) ； 解：根据平稳随机信号相关函数的性质， (1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否， R Y (0) = 9 ≠ σ 2Y
x2 } 4
u1 2 + u22 1 f (u 1, u 2 ; t 1 , t 2 ) = f (u 1, t 1 ) f ( u 2, t 2 ) = exp{− } 4π 4
k k
f (u 1, u 2 ,K , u k ; t 1 , t 2 K , t k ) = ∏ f (u i, t i ) =
2 −1
（2） RX (τ ) = 5sin ( 5τ ) ； （4） RY (τ ) = − cos ( 6τ ) exp ( − τ ) ； ⎡ sin (10τ ) ⎤ （6） RY (τ ) = 6 + 4 ⎢ ⎥。 ⎣ 10τ ⎦ （7） RY (τ ) = 6 + 4 exp(−3τ 2 ) 。
= E[X(t + τ ) X (t )] × E[Y(t + τ )Y (t )] = R X (τ ) × R Y (τ ) = R Z (τ ) ∴ R Z (τ ) 仅与 τ 有关，故 Z(t ) = X (t )Y(t ) 也是平稳过程。 3.5 随机信号 X ( t ) = 10 sin (ω 0t + Θ ) ， ω 0 为确定常数， Θ 在 [ −π , π ] 上均匀分 布的随机变量。若 X (t ) 通过平方律器件，得到 Y (t ) = X 2 (t ) ，试求：
（1） Y (t ) 的均值； （3） Y (t ) 的广义平稳性。
（2） Y (t ) 的相关函数；
3.5 解： (1) E[Y(t )] = E[X2 (t )] = E[100 sin 2 (ω 0 t + θ ) ] = 50 E[1 − cos(2ω 0 t + 2θ ) ] = 50
( 2 ) R Y (t + τ , t ) = E[Y(t + τ )Y(t )] = E[X 2 (t + τ )X 2 (t )]
显然f X ( x, t1 ) = f A ( x )不一定等于f X ( x , t2 ) = f B ( x ) ∴ X(t )不是严格平稳的。 3.7 Y (t ) 是广义周期平稳的实随机信号， 平稳周期为 100， 有均值 m(10) = 20 和相关函数 R(5,1) = 10 ，试求： （1） E[5Y (110)] ， E[10Y (310) + 50] ；
R X (τ ) = E[X(t + τ )X(t )] ， R Y (τ ) = E[Y(t + τ )Y(t )] m Z (t ) = E[Z(t )] = E[ X (t )Y(t )] = E[ X (t )] × E[Y (t )] = m X m Y ，为常数 R Z (t + τ , t ) = E[Z(t + τ )Z(t )] = E[ X (t + τ )Y(t + τ ) X (t )Y(t )]
3.1 随机电压信号 U ( t ) 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密 度函数是高斯的、均值为 0，方差为 2，试求： （ 1）密度函数 f ( u; t ) 、 f ( u1 , u2 ; t1 , t2 ) 和 f ( u1 , u2 ,..., uk ; t1 , t2 ,..., tk ) ， k 为任意 整数； （2） U ( t ) 的平稳性。 3.1 解： (1) f (u; t ) = 1 2 π exp{−
∴ E[ Z (t )] = 0
Z (t )的相关函数： Rz ( s, t ) = E[ A2 X ( s ) ⋅ Y ( s ) ⋅ X (t ) ⋅ Y (t )]
= E[ A2 ] ⋅ E[ X ( s) ⋅ Y ( s) ⋅ X ( t) ⋅ Y ( t)] = 13 × E[ X ( s) ⋅ X (t )] × E[Y ( s) ⋅ Y (t )] = 13 × RX (τ ) × RY (τ ) = 26 ⋅ e
（2） E[Y (105)Y (101)] ， E[30Y (205)Y (201) + 200] ； （3） E[10Y (305)Y (301) + 6Y (210) + 80] 。 3.7 解： Q Y(t )是广义周期平稳随机信号， (1) E[5Y(110)] = 5 E[Y(10)] = 5m(10) = 5 × 20 = 100 E[10Y(310) + 50] = 10 E[Y(10)] + 50 = 250 (2) E[Y(105)Y(101)] = E[Y(5)Y(1)] = R (5,1) = 10 E[30Y(205)Y(201) + 200] = 30E[Y(5)Y(1)] + 200 = 500 (3) E[10Y(305)Y(301) + 6Y(210) + 80] = 10 R(5,1) + 6 m(10) + 80 = 300 3.8 3.9 两个统计独立的平稳随机过程 X (t ) 和 Y (t ) ，其均值都为 0，自相关函数 −τ 分别为 RX (τ ) = e ， RY (τ ) = cos 2πτ ，试求： （1） Z (t ) = X (t ) + Y (t ) 的自相关函数； （2） W (t ) = X (t ) − Y (t ) 的自相关函数； （3）互相关函数 RZW (τ ) 。 3.9 解： (1) R Z (t + τ , t ) = E[Z(t + τ )Z(t )] = E{[X(t + τ ) + Y(t + τ )] × [X(t ) + Y(t )]} = E[X(t + τ )X(t )] + E[Y(t + τ )Y(t )] = R X (τ ) + R Y (τ ) = e − τ + cos(2πτ ) (2) R W (t + τ , t ) = E[W(t + τ )W(t )] = E{[X(t + τ ) − Y(t + τ )] × [X(t ) − Y(t )]} = E[X(t + τ )X(t )] + E[Y(t + τ )Y(t )] = R X (τ ) + R Y (τ ) = e − τ + cos(2πτ ) (3) R ZW (t + τ , t ) = E[W(t + τ )Z(t )] = E{[X(t + τ ) − Y(t + τ )]× [X(t ) + Y(t )]} = R X (τ ) − R Y (τ ) + R XY (τ ) + R YX (τ ) 又由于X(t )与Y(t )零均值相互独立，同时彼此正交，则R XY (τ ) + R YX (τ ) = 0 ∴ R ZW (t + τ , t ) = R X (τ ) − R Y (τ ) = e − τ − cos(2πτ ) 3.10 3.11 3.12 广义平稳随机过程 Y (t ) 的自相关函数矩阵如下， 试确定矩阵中带下划线 的空白处元素的值。
R X (t + τ , t ) = E[X(t + τ )X(t )]
= E{[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] ×[ A cos(ω 0 t + ω 0τ ) + B sin(ω 0 t + ω 0τ ) ]} = E[ A2 cos(ω 0 t ) × cos(ω 0 t + ω 0τ ) + B 2 sin(ω 0 t ) × sin(ω 0 t + ω 0τ ) ] 1 1 = σ 2 E[cos(2ω 0 t + ω 0τ ) + cos(ω 0τ )] + σ 2 E[cos(ω 0τ ) − cos(2ω 0 t + ω 0τ )] 2 2 2 = σ cos(ω 0τ ) 由于均值是常数，且相关函数只与 τ 有关，故 X(t ) 是广义平稳过程。 取t1 = 取t2 = 2π 时，X(t ) = A ω0 2π π + 时，X(t ) = B, ω 0 2ω 0