初等数论课件--同余式 （导学设计）
灵台工作站 张玉凤
前言
• 本课件是以初等数论同余式内容的PPT课 件为切入口，介绍了初等数论课程教学中， 不断运用多媒体课件进行教学内容，体现 了课件建设的好处以及其对数学思想的研 究思维的拓展与教学的关系。
(一)课程的作用与任务
• “初等数论”课程是中央广播电视大学数学与应 用数学专业的一门限选课。数学与应用数学专业 的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对 数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相 关的一些课程。
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解：∵288-214=74=37×2。
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∴288≡214（mod37）。
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∵74-20=54，而3754，
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∴7420（mod37）。
• 例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
• 分析 若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使 “大数化小”，减少计算量。
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解：∵418≡2（mod13），
• （2）教学基本要求
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1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会
利用同余简单验证整数乘积运算的结果。
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2、理解剩余系、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法，理解欧拉函数
的定义定理，掌握循环小数的判定方法。
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4、理解同余式的定义，掌握一次同余式有解的条件，熟练掌握求解一次同余式。
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由例以上3例我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。
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例如，表示a是一个偶数，可以写
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a≡0（mod 2）
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表示b是一个奇数，可以写
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b≡1（mod 2）
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补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：
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ab（modm）
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我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有
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性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加
减性）。
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性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
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性质6：若a≡b（mod m），那么an≡bn（mod m），（其中n为自然数）。
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性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）
（2）重点及难点
• 重点：剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理，求解三次以下的同余式。 • 难点：剩余系的判定，中国剩余定理，模整数同余式与模素数同余式的关系。
2.1.1同余式定义
• 同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
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a≡b（modm）. （*）
如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。
2.1.2同余式性质
• 性质1：a≡a（mod m），（反身性）
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这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。
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性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。
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性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。
• 初等数论同余是研究整数性质的一门学科的重要部分，历 史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易 搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本 课程的目的是简单介绍在初等数论同余研究中经常用到的 若干基础知识、基本概念、方法和技巧。
（三）教学要求
• （1）教学总要求
有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计 算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
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上式可读作：
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a同余于b，模m。
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同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：
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a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.
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例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。
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②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。
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③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。
• 通过这门课的学习，使学生获得关于同余式的相 关基本知识与性质，掌握数论中的最基本的理论 和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题 的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
（二）课程的目的
• 通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更 深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。
• 通过本课程的学习，使学生较为系统的获得利用数学工具 建立数学模型的基本知识、基本技能与常用技巧，培养学 生的抽象概括问题的能力，用数学方法和思想进行综合应 用与分析问题的能力，并着力导引实践—理论—实践的认 识过程，培养学生辩证唯物主义的世界观。
表示c与m的最大公约数）。
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注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错
的。
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例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因为（2，4）≠1。
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请你自己举些例子验证上面的性质。
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同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。
例题解析（1）
• 例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？
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5、理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余式方程
组的方法。
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6、了解高次同余式解的个数的判断方法，知道解高次同余式的方法，了解模整数
同余式与模素数同余式的关系，掌握求简单的（3、4次）同余式解的方法。
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7、了解素数模同余式的次数化简、Wilson定理，了解同余式的次数与解的个数的
关系，知道n次同余式有n个解的条件。
（四）教学内容、重点及难点：
• （1）教学内容：
• 2.1.1同余的定义和基本性质 • 2.1.2同余式性质 • 2.2.1剩余类与剩余系 • 2.2.2剩余类性质 • 2.2.3剩余系及性质 • 2.3.1欧拉定理 • 2.3.2费马定理 • 3.1一次同余方程 • 3.2一次同余方程组
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814≡8（mod13），1616≡4（mod13），
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∴ 根据同余的性质5可得：
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418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。
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答：乘积418×814×1616除以13余数是12。
例题解析（2）
• 例3 求14389除以7的余数。