都是3阶循环环，但它们不同构. 例 环Z6有T（6）＝4个子环 例
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ab,
但[a][b] [ab] [0], Z m 为有零因子环.
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推论
Z m 为域 m 为素数.
（有限无零因子环是除环）
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例2 Z5是域，Z6不是域. 定理3 设m,n是两个正整数,则Zm～Zn当且仅当 n∣m 证：令
～ Z m {0,1, m 1}, Z n {0,1, n 1 }, 并设Zm～Z n且
x, y Z
st . ax my 1 ,因此, [a][ x] [ax] [1] ,故 [ a ] 可逆.
剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
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例 1 Z12 解 (1) 全部零因子:
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10] (2) 全部可逆元: [1],[5],[7],[11]
近世代数
第四章 环与域 §4 模n剩余类环
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定义 1 （同余）整数 a 关于模正整数 m 同余于 整数b，是指 m∣a－b, 并写a≡b (mod m). 整数模 m 同余类共有 m 个，他们分别为 mk+0, mk+1, mk+2,…mk+(m-1); k∈z，每 一个算一类，每一类都可以选一个代表元， 一般选这一类中的最小的非负整数。于是 称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。
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定义2：模 m 的剩余类环Ｒ＝｛模 m的剩余类｝，规定 R 中的加法和乘法如下：
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
如何证明 R 是一个环？：首先证明加法和乘法的定义是与 代表元的选择无关。封闭性是显然的。然后证明R关于加法 是一个Abel群，关于乘法是一个（含幺，可交换）半群。然 后证明分配律成立
反之,如果
Z m 的零因子,则存在 [b]( [0]) Zm ,使得 [a][b] [ab] [0]
证：(1)若 [a] 为
( a, m) d 1 , 设 a a1d , m m1d ,则 m | ma1 m1da1 m1a ,所以 [m1 ][a] [m1a] [0] ,但 [m1 ] [0]
,于是 [ a ] 是Z m 的可逆元,则 [b] Zm , [a][b] [ab] [1]. 于是, m | ab 1,即 c Z ,使得 ab 1 cm ,也就是 ab ( c )m 1 ，所以 ( a, m ) 1. 反之, 如果 ( a, m) 1 ,则
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2. 剩余类环的性质 定理1 设 [a] Zm ,[a] [0] ,则 (1) [a] 为 Z m 的零因子 ( a, m) 1 (2) [a] 为 Z m 的可逆元 ( a, m) 1
,故 m | ab .若 ( a, m) 1 ,则 m | b ,所以 [b] [0] ,矛盾.于是 ( a, m) 1 .
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(4) 各子环特征:
定理2
Z m 为无零因子环 m 为素数.
证：设 m 为素数，若 [a][b] [ab] [0] ，则 m | ab ，m | a 或者 m | b ，即
[a] [0], 或者[b] [0], Z m 为无零因子环.
若 m 不是素数，则 m m | a, m | b, 即[a] [0],[b] [0],
为其一同态满射，则在 之下单位元的象是单位 元，
即1 1 ，从而对任意的整数 x有
～ ~ ~ ～
：x x 特别有0＝m m 0 .故n m
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定理4 除去零乘环外，在同构意义下，循环环有且 只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环.
注：整数环及其所有非零子环虽然作为加群他们 彼此同构，但是作为环来说，它们彼此并不同构. ～ ~ ~ ~ 例 Z6的子环 R {0, 2, 4}与Z9的子环R ＝ {0, 3, 6}
直接计算可知,相应的逆元为
1 1 1
[1] [1],[5] [5],[7] [7],[11] [11]
(3) 全部子环:
1
([0]), ([1]), ([2]), ([3]), ([4]), ([6]) char (([0])) 1, char (([1])) 12, char (([2])) 6, char (([3])) 4, char (([4])) 3, char (([6])) 2.