偏导数与全微分习题
1. 设y
x
y x y x f arcsin )1(),(-+=，求)1,(x f x
'。

2. 习题8 17题。

3. 设⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠++=0
001sin ),(22222
2
y x y x y x y y x f ，考察f (x ,
y )在点（0,0）的偏导数。

4. 考察⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠++=0
001sin ),(22222
2
y x y x y x xy y x f 在点
（0,0）处的可微性。

5. 证
明
函
数
⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0
001sin
)(),(222
22
22
2y x y x y x y x y x f 在
点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而f (x , y )在点（0,0）可微。

}
1． 设y
x
y x y x f arcsin
)1(),(-+=，求)1,(x f x
'。

y
y
x y
x y y x f x
1)
(2111
)1(1),(21
⋅⋅-
-+='- ∴ 1)1,(='x f x。

：
&
2.习题8 17题。

17. 设22)()(ln b y a x z -+-=（a , b 为常数），证明
02
22
2=∂∂+∂∂y z x z 。

先化简函数 ))()ln((2
1
22b y a x z -+-=，
，
2
222)()()
()()()(221b y a x a x b y a x a x x z -+--=
-+--⋅=∂∂，
2222)
()()
()()()(221b y a x b y b y a x b y y z -+--=-+--⋅=∂∂， 2
22
2
222
2))()(()(2)()(b y a x a x b y a x x
z -+----+-=
∂∂
2
22
22)
)()(()()(b y a x a x b y -+----=
，
2
222
222
2))()(()(2)()(b y a x b y b y a x y
z -+----+-=
∂∂
2
2222)
)()(()()(b y a x b y a x -+----= ， ∴ 02
22
2=∂∂+
∂∂y
z x
z 。

3. $
4.
设⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠++=0
001sin ),(22222
2
y x y x y x y y x f ，考察f (x ,
y )在点（0,0）的偏导数。

由偏导数定义可知
00lim )
0,0()0,(lim )0,0(0
==∆-∆='→∆→∆x x x
x
f x f f ，
2
1sin
lim )
0,0(),0(lim )0,0(y y
f y f f y y y
∆=∆-∆='→∆→∆ 不存在。

（
$
4.考察⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠++=0
001sin ),(22222
2
y x y x y x xy y x f 在点
（0,0）处的可微性。

由偏导数定义可知
0)
0,0()0,(lim )0,0(0
=∆-∆='→∆x
f x f f x x
，
0)
0,0(),0(lim )0,0(0
=∆-∆='→∆y
f y f f y y ，
则 d z =0,
2
2
)
()(1sin
)0,0(),(y x y x f y x f dz f ∆+∆∆∆=-∆∆=-∆
{
…
要讨论在（0,0）点可微性，即讨论极限ρ
ρdz
f -∆→0
lim 是
否趋于0，
0)()()()(1sin lim
lim
2
22
20
→∆+∆∆+∆∆∆=-∆→→y x y x y x dz
f ρρρ
，
这是因为
222
22
22
2
)()()()(21|)()()
()(1
sin |
y x y x y x y x y x ∆+∆∆+∆≤
∆+∆∆+∆∆∆ ε<∆+∆≤22)()(2
1
y x
∴ f (x , y )在点（0,0）处的可微
?
5. "
6.
证明函数
⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0
001sin
)(),(22222
22
2y x y x y x y x y x f 在
点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而f (x , y )在点（0,0）可微。

（1）连续
|1sin )(||)0,0(),(|2
22
2y x y x f y x f ++=-
ε<+≤||22y x ， 故f (x , y )在（0,0）点连续； （2）偏导数存在 由偏导数定义
~
|
|1
sin
)(lim )0,0()0,(lim )0,0(2
0=∆∆∆=∆-∆='→∆→∆x x x x f x f f x x x
同理 0)0,0(='x
f ，偏导数存在；
（3）偏导数在（0,0）点不连续
当022≠+y x 时
2
22
22
21cos
1sin 2),(y x y x x y x x y x f x
++-
+='，
而
220021
cos
||221
sin 2lim ),(lim x x x x x y x f x
y x y x x x -='==→→ 极限不存在，故),(y x f x
'在（0,0）处不连续； 同理，),(y x f y
'在（0,0）处不连续； （4）可微
由（2）可知: d z =0,
)0,0(),(f y x f dz f -=-∆
2
22
2)()(1sin
))()((y x y x ∆+∆∆+∆=,
2
22
22
2
)()()()(1
sin ))()((lim
lim
y x y x y x dz
f ∆+∆∆+∆∆+∆=-∆→→ρρρ
0)()(1sin
])()[(lim 2
221
220
=∆+∆∆+∆=
→y x y x ρ,
∴ f (x , y )在（0,0）点可微。