椭圆问题中最值得关注的基本题型[题型分析·高考展望] 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解.常考题型精析题型一 利用椭圆的几何性质解题例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A →的最大值和最小值.点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a 、b 、c 之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.变式训练1 (2014·课标全国Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.题型二 直线与椭圆相交问题例2 (2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左，右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值； (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式.变式训练2 (2014·四川)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标.题型三 利用“点差法，设而不求思想”解题例3 已知椭圆x 22＋y 2＝1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.点评 当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解.变式训练3 (2015·福州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点.(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦|MN |的长.(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式.高考题型精练1.(2015·课标全国Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |等于( )A.3B.6C.9D.122.(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 3.(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( ) A.5 2 B.46＋ 2 C.7＋ 2 D.6 24.若椭圆和双曲线具有相同的焦点F 1，F 2，离心率分别为e 1，e 2，P 是两曲线的一个公共点，且满足PF 1⊥PF 2，则1e 21＋1e 22的值为( ) A.4B.2C.1D.125.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且MF 1→·MF 2→的最大值的取值范围是[c 2,2c 2]，其中c 是椭圆的半焦距，则椭圆的离心率取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤33，22B.⎣⎡⎦⎤13，12C.⎣⎡⎭⎫22，1 D.⎣⎡⎭⎫12，1 6.(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.7.(2014·江西)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________.8.(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________.9.(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且|BF 2|＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.10.(2015·重庆)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.11.(2015·陕西)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程.12.(2015·安徽)设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为5 10.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.答案精析第30练 椭圆问题中最值得关注的基本题型常考题型精析例1 解 设P 点坐标为(x 0，y 0).由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， P A →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF →·P A →取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.变式训练1 解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 例2 解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2， 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2， 可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0).因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，① 则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0＜t ≤1， 因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.变式训练2 (1)解 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明 由(1)可得F 的坐标是(－2,0)， 设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－(－2)＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0， 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为(－6m 2＋3，2mm 2＋3).所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . ②解 由①可得|TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝(m 2＋1)[(4mm 2＋3)2－4·－2m 2＋3]＝24(m 2＋1)m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·(m 2＋1＋4m 2＋1＋4)≥ 124×(4＋4)＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值.所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1).例3 解 设弦的两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， MN 的中点为R (x ，y )，则x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，两式相减并整理可得， y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x2y ，①将y 1－y 2x 1－x 2＝2代入式①，得所求的轨迹方程为x ＋4y ＝0(－2<x <2).变式训练3 解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. (2)如图，椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知 BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2， 即得Q 的坐标为(3，－2). 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0. 高考题型精练1.B [因为e ＝c a ＝12，y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以c ＝2，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3，所以|AB |＝6.] 2.A [由e ＝33得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3， 代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2， 故C 的方程为x 23＋y 22＝1.]3.D [如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0， 解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62，故选D.]4.B [由题意设焦距为2c ，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨令P 在双曲线的右支上.由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2m ，① 由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，② 又PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2＝90°，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③ ①式的平方加上②式的平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 2＋2m 2，④由③④得a 2＋m 2＝2c 2，即a 2c 2＋m 2c2＝2，∴1e 21＋1e 22＝2.] 5.A [设M (x 0，y 0)，则MF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，MF 2→＝(c －x 0，－y 0)，∴MF 1→·MF 2→＝x 20－c 2＋y 2＝x 20－c 2＋b 2⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 20－c 2＋b 2＝c 2a2x 20－c 2＋b 2.∵x 0∈[－a ，a ]，∴当x 0＝±a 时，MF 1→·MF 2→有最大值b 2，∴c 2≤b 2≤2c 2，∴c 2≤a 2－c 2≤2c 2，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴13≤c 2a 2≤12，∴e ∈⎣⎡⎦⎤33，22，故选A.] 6.12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|， |AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12. 7.22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.8.x 2＋32y 2＝1解析 设点B 的坐标为(x 0，y 0).∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0).∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2).∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →， ∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0).∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.9.解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0). (1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a .又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎨⎧x 1＝2a 2ca 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3， 直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.10.解 (1)由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一 如图，设点P(x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a ca 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2. ＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得 e ＝ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 方法二 如图，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝(2－2)2＋(2－1)2 ＝9－62＝6－ 3.11.解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bcb 2＋c 2＝bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)方法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2， x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k2， 由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12， 从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2)， 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 方法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0，易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12， 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2，于是|AB |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 12.(1)解 由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255. (2)证明 由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6， 又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2). 由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .。