2．关于圆的常见辅助线：《圆》题型分类资料一． 圆的有关概念：1.下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（ ）A . 1个B .2个C .3个D .4个 2．下列命题是假命题的是（ ）A ．直径是圆最长的弦B ．长度相等的弧是等弧C ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等D ．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3.下列命题正确的是 （ ）A ．三点确定一个圆B ．长度相等的两条弧是等弧C ．一个三角形有且只有一个外接圆D .一个圆只有一个外接三角形 4.下列说法正确的是( )A ．相等的圆周角所对的弧相等B ．圆周角等于圆心角的一半 C．长度相等的弧所对的圆周角相等 D ．直径所对的圆周角等于90° 5.下面四个图中的角，为圆心角的是( )A ．B ．C ．D ． 二．和圆有关的角：1. 如图1，点O是△ABC的内心，∠A=50 ，则∠BOC=_________A图1 图2 图3 图42.如图2，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为( )A.116°B.64°C. 58°D.32°3. 如图3，点O为优弧AB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D的度数为4. 如图4，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝_________度．5. 如图5，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD ＝．A图5 图6 图7 图8 6. 如图6，A ，B ，C ，是⊙O 上的三个点，若∠AOC ＝110°，则∠ABC ＝ °． 7.圆的内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C =2：3：7，则∠D 的度数为 。

8. 若⊙O 的弦AB 所对的劣弧是优弧的13，则∠AOB ＝ .9.如图7，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2=________ 10.如图8，△ABC 是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A ，B 重合），设OAB α∠=，C β∠= （1）当35α=时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系为11.已知：如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长BC 至E ，求证：∠A +∠B C D=180°，∠DCE =∠A ；如图2，若点C 在⊙O 外，且A 、C 两点分别在直线BD 的两侧，试确定∠A +∠BCD 与180°的大小关系；如图3，若点C 在⊙O 内，且A 、C 两点分别在直线BD 的两侧，试确定∠A +∠BCD 与180°的大小关系。

图1 图2 图 312.如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，四边形ABCO 是菱形（1）求证：AB BC =； （2）求D ∠的度数13.（1）如图O 的直径，AC 是弦，直线EF和O 相切于点C ，AD FE ⊥，垂足为D ，求证CAD BAC ∠=∠；（2）如图（2），若把直线EF 向上移动，使得EF 与O 相交于G ，C 两点（点C 在G的右侧），连结AC ，AG ，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD 相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由。

三．和圆有关的位置关系： （一）点和圆的位置关系：1.已知⊙O 的半径为4，A 为线段PO 的中点，当OP =10时，点A 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定2. 如图，在R t △ABC 中∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是点P （ ）。

A . 在⊙O 内B . 在⊙O 上C . 在⊙O 外D . 无法确定 3.如图1，已知O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则O 上到弦AB 所在直线的 图1 距离为2的点有（ ）备用图A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.变式训练：如图1，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为1的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5. Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，那么斜边中点D 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点D 在⊙A 外B ．点D 在⊙A 上C ．点D 在⊙A 内 D ．无法确定（二）直线和圆的位置关系：1.如图，在RT △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，BC =34cm ，以点C 为圆心，以32cm 的长为半径，则⊙C 与AB 的位置关系是 ；2.如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC =3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D .若CD =3，则线段BC 的长度等于__________.3.如图Rt △ABC 中∠C =90°，∠A =30°，在AC 边上取点O 画圆使⊙O 经过A 、B 两点，下列结论中:①AO =2CO ； ②AO =BC ； ③以O 为圆心，以OC 为半径的圆与AB 相切；④延长BC 交⊙O 于 点D ，则A 、B 、D 是⊙O 的三等分点，正确的序号是 4.如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下列结论：①AD ⊥BC ；②∠EDA =∠B ；③AD =AO ；④AB =AC ；⑤DE 是⊙O 切线.正确的是_______________.5. 如图，∠AOB =30°，M 为OB 边上一点，以M 为圆心、2为半径作⊙M . 若点M 在OB 边上运动，则当OM ＝ 时，⊙M 与OA 相切；当OM 满足 时，⊙M 与OA 相交；当OM 满足 时，⊙M 与OA 相离.6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3cm ，BC =4cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何位置关系？为什么？（1）r =2cm ；（2）r =2.4cm ；（3）r =3cm7. 已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，圆O 过D 、B 、C 三点， ∠DOC =2∠ACD =90︒。

(1) 求证：直线AC 是圆O 的切线；(2) 如果∠ACB =75︒，圆O 的半径为2，求BD 的长。

8. 如图，点A 、B 、C 分别是⊙O 上的点，⊙B =60°，AC =3，CD 是⊙O 的直径，P是CD 延长线上的一点，且AP =AC ． (1)求证：AP 是⊙O 的切线；(2)求PD 的长．9.如图，四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，BC =2，以线段BC 的中点O 为圆心，以OB 为半径作圆，连结OA 交⊙O 于点M 。

若点E 是线段AD，OA =2，求证：直线AD的中点，AE =与⊙O 相切。

10. 如图，已知四边形OABC 是菱形，∠O 的60°，点M 是边OA 的中点.以点O 为圆心，r 为半径作⊙O 分别交OA ，OC 于点D ，E ，连接BM 。

若BM⌒DE. 求证：直线BC 与⊙O 相切.11. 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边上任意一点，∠ECF ＝45°，CF 交AD 于点F ，将PE△CBE 绕点C 顺时针旋转到△CDP ，点P 恰好在AD 的延长线上． （1）求证：EF ＝PF ；（2）直线EF 与以C 为圆心，CD 为半径的圆相切吗？为什么？ 12. 如图，已知AB 是O 的直径，点D 在O 上，C 是O 外一点.若AD//OC ，直线BC与O 相交，判断直线CD 与O 的位置关系，并说明理由.13. 如图，□ABCD 中，O 为AB 边上一点，连接OD ，OC ，以O 为圆心，OB 为半径画圆，分别交OD ，OC 于点P ，Q ．若OB ＝4，OD ＝6，∠ADO＝∠A ，⌒PQ ＝2π，判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．14. 如图，□ABCD 中，O 为BC 边上一点，OD 平分∠ADC ，以O 为圆心，OC 为半径画圆，交OD 于点E ，若AB ＝6.□ABCD 的面积是，弧EC ＝π，判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由.15. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ADC ＝90°，∠DCB <90°，对角线AC 平分∠DCB ，延长DA ，CB 相交于点E ． (1)如图1，EB ＝AD ，求证：△ABE 是等腰直角三角形；16.已知直线PA 交⊙O 于A 、B ，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA ，垂足为D .（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若DC ＋DA ＝6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度.17.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 点的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E . (1)求证：AC 平分∠DAB ；A(2)若∠B =60°，CD=，求AE 的长。

18.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，H 是AC 的中点，且OH ＝1，∠A ＝30º． (1)求劣弧AC ⌒的长；(2)若∠ABD ＝120º，BD ＝1，求证：CD 是⊙O 的切线．19.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，延长DO 交⊙O 于点P ，过点P 作PE⊥AC 于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF 。

(1)若∠POC =60°，AC =12，求劣弧PC 的长；(结果保留π)(2)求证：OD =OE ；(3) PF 是⊙O 的切线。

四．和圆有关的计算：（一）有关弦长、半径、弦心距等的计算：1.半径为5的圆中有两条平行弦，长度分别为4和6，则这两条弦之间的距离是 .2.如图1，点P 是半径为5的⊙O 内的一点，且OP =3，设AB 是过点P 的⊙O 内的弦，且AB ⊥OP ，则弦AB 长是 ；图1 图23.在直角坐标系中，一条弧经过网格点A、B 、C ，其中点B 的坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ；4.如图，⊙O 的直径为20 cm ，弦AB =16 cm ，AB OD ⊥，垂足为D .则AB 沿射线OD 方向平移 cm 时可与⊙O 相切.5.已知，如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，若AB =7，AC =8，BC =9，求AD 、BE 、CF 的长。