第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数(对应学生用书(文)、(理)40～41页)页考情分析考点新知① 了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义.② 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化.③ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切．① 能准确进行角度与弧度的互化.② 准确理解任意角三角函数的定义，并能准确判断三角函数的符号.1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限． 答案：四 解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．2. 角α终边过点(－1，2)，则cos α＝________． 答案：－553. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 答案：1或44. 已知角α终边上一点P(－4a ，3a)(a<0)，则sin α＝________． 答案：－355. (必修4P15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(－x ，－6)，且cos θ＝－513，则sin θ＝____________，tan θ＝____________． 答案：－1213 125 解析：cos θ＝－xx2＋36＝－513，解得x ＝52.sin θ＝－6⎝⎛⎭⎫－522＋（－6）2＝－1213，tan θ＝125.1. 任意角(1) 角的概念的推广① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k ∈Z)． (3) 弧度制① 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③ 弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ④ 弧长公式：l ＝|α|r ．扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r2． 2. 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数定义设P(x ，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． 3. 三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos α，sin α)，即P(cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 三角函数线[备课札记]题型1 三角函数的定义例1 α是第二象限角，P(x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，求sin α的值．解：∵ OP ＝x2＋5，∴ cos α＝xx2＋5＝24x.又α是第二象限角，∴ x<0，得x ＝－3， ∴ sin α＝5x2＋5＝104. 变式训练已知角α终边上一点P(－3，y)，且sin α＝24y ，求cos α和tan α的值． 解：r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sin α＝yr ＝yy2＋3＝24y ， ∴ y ＝±5或y ＝0.当y ＝5即α是第二象限角时，cos α＝x r ＝－64，tan α＝－153；当y ＝－5即α是第三象限角时，cos α＝x r ＝－64，tan α＝153；当y ＝0时，P(－3，0)，cos α＝－1，tan α＝0.题型2 三角函数值的符号及判定例2 (1) 如果点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限； (2) 若θ是第二象限角，试判断sin(cos θ)的符号． 解：(1) 因为点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θ·cos θ<0，2cos θ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角． (2) ∵ 2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z)，∴ －1<cos θ<0，∴ sin(cos θ)<0.∴ sin(cos θ)的符号是负号． 备选变式（教师专享）已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则角α的终边在第________象限． 答案：四解析：由题意，得tan α＜0且cos α＞0，所以角α的终边在第四象限． 题型3 弧长公式与扇形面积公式例3 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1) 若α＝60°，R ＝10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2) 若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓． ∵ α＝60°＝π3，R ＝10，∴ l ＝103π(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×103π×10－12×102·sin60°＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 cm2.(2) ∵ 扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴ R ＝C 2＋α，∴ S 扇＝12α·R2＝12α⎝⎛⎭⎫C 2＋α2＝C22·α4＋4α＋α2＝C22·14＋α＋4α≤C216，当且仅当α＝4α，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值C216.备选变式（教师专享）已知2rad 的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．解：如图，∠AOB ＝2rad ，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交AB ︵于D.∠AOD ＝∠BOD ＝1rad ，且AC ＝12AB ＝1.在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.1. 若α角与8π5角终边相同，则在[0，2π]内终边与α4角终边相同的角是________． 答案：2π5，9π10，7π5，19π10解析：由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z)，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．又α4∈[0，2π]，所以k ＝0，1，2，3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.2. 已知角α(0≤α≤2π)的终边过点P ⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则α＝__________．答案：11π6解析：将点P 的坐标化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，它是第四象限的点，r ＝|OP|＝1，cos α＝x r ＝32.又0≤α≤2π，所以α＝11π6.3. 已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm2. 答案：4解析：设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r)＝－r2＋4r ＝－(r －2)2＋4，所以Smax ＝4(cm2)．4. 若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α＜0，又P(m ，n)是角α终边上一点，且|OP|＝10，则m －n ＝________． 答案：2解析：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ，m2＋n2＝10.解得m ＝1，n ＝3或m ＝－1，n ＝－3.又sin α＜0，∴ α的终边在第三象限，∴ n ＜0，∴ m ＝－1，n ＝－3，∴ m －n ＝2.1. 设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝kπ2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N ＝________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π 解析：由－π＜kπ2－π3＜π，得－43＜k ＜83.∵ k ∈Z ，∴ k ＝－1，0，1，2，故M∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.2. 已知α＝π3，回答下列问题．(1) 写出所有与α终边相同的角；(2) 写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角； (3) 若角β与α终边相同，则β2是第几象限的角？ 解： (1) 所有与α终边相同的角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝2kπ＋π3，k ∈Z .(2) 由(1) 令－4π＜2kπ＋π3＜2π(k ∈Z)， 则有－2－16＜k ＜1－16.∵ k ∈Z ，∴ 取k ＝－2、－1、0.故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－11π3、－5π3、π3. (3) 由(1) 有β＝2kπ＋π3(k ∈Z)，则β2＝kπ＋π6(k ∈Z)． ∴ β2是第一、三象限的角．3. 已知角α的终边经过点P(x ，－2)，且cos α＝x3，求sin α和tan α. 解：因为r ＝|OP|＝x2＋（－2）2，所以由cos α＝x3，得x x2＋（－2）2＝x3，解得x ＝0或x ＝± 5. 当x ＝0时，sin α＝－1，tan α不存在；当x ＝5时，sin α＝－23，tan α＝－255；当x ＝－5时，sin α＝－23，tan α＝255.4. 已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1) 求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2) 求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S.解：(1) 由圆O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴ α＝∠AOB ＝π3.(2) 由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴ 弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴ S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝5032，∴ S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式． (2) 已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．2. 已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．4. 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 (1) 用边界值定出角的终边位置． (2) 根据不等式(组)定出角的范围． (3) 求交集，找单位圆中公共的部分． (4) 写出角的表达式．请使用课时训练（B ）第1课时（见活页）.[备课札记]。