数学归纳法
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数学归纳法及其应用举例单元练习（二）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为
21n (n －3)条时，第一步验证n 等于
A. 1
B.2
C.3
D.0 2.等式12+22+32+…+n 2=2
4752+-n n A.n 为任何自然数时都成立；B.仅当n =1，2，3时成立
C.n =4时成立，n =5时不成立；
D.仅当n =4时不成立
3.用数学归纳法证明不等式312111+++++n n n +…+24
1321>n （n ≥2,n ∈N *)的过程中，由n =k 逆推到n =k +1时的不等式左边
A. 增加了1项
)1(21+k ； B.增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“1
1+k ” C.增加了2项
)1(21121+++k k D.增加了)1(21+k ，减少了11+k 4.用数学归纳法证明（n +1)(n +2)…(n +n )=2n ·1·3·5·…（2n －1)(n ∈N *)时，假设n =k 时成立，若证n =k +1时也成立，两边同乘
A.2k +1
B.112++k k
C.1)22)(12(+++k k k
D.1
32+-k k
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5.证明1+413121+++…+2
121n n >- (n ∈N *)，假设n =k 时成立，当n =k +1时，左端增加的项数是
A. 1项
B.k －1项
C.k 项
D.2k 项
6.上一个n 级台阶，若每步可上一级或两级,设上法总数为f (n ),则下列猜想中正确的是
A.f (n )=n
B.f (n )=f (n －1)+f (n －2)
C.f (n )=f (n －1)·f (n －2)
D.f (n )=⎩⎨⎧≥-+-=3
)2()1(2,1,n n f n f n n 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7.凸n 边形内角和为f (k )，则凸k +1边形的内角和
f (k +1)=f (k )+___________.
8.观察下列式子：1+23212<,1+223121+＜35,1+474
13121222<++,…则可归纳出：___________.
9.设f (n )=（1+)11()111)(1n
n n n ++⋅⋅⋅++,用数学归纳法证明f (n )≥3.在“假设n =k 时成立”后，f (k +1)与f (k )的关系是
f (k +1)=f (k )·___________.
10.有以下四个命题：（1）2n ＞2n +1(n ≥3) (2)2+4+6+…
+2n =n 2+n +2(n ≥1) (3)凸n 边形内角和为f (n )=(n －1)π(n ≥3) (4)凸n 边形对角线条数f (n )=2
)2(-n n (n ≥4)．其中满足“假设n =k (k
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∈N ,k ≥n 0).时命题成立，则当n =k +1时命题也成立.”但不满足“当
n =n 0（n 0是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是
___________.
11.用数学归纳法证明n n n b a b a )2
(2+≥+（a ,b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n =k 命题成立之后，证明n =k +1命题也成立的关键是___________.
三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
12.已知a n =n n n )
1(3212
322++⋅⋅⋅+++n ∈N *求证：a n ＜1.
13.平面内有n 个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n 个圆把平面分成了n 2－n +2个区域.
14.设f(k)是满足不等式log2x+log2(3·2k－1－x)≥2k－1(k∈N*)的正整数x的个数.
（1）求f(k)的解析式；
（2）记S n=f(1)+f(2)+…+f(n),P n=n2+n－1（n∈N*）试比较S n与P n 的大小.
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参考答案：
一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 二、7.180° 8.1+112)
1(13121222++<++⋅⋅⋅++n n n 9.(1+
1)2211)(121+⋅+++k k k k 10.(2)（3） 11.两边同乘以2
b a + 三、12.证明：(1)当n =1时，a 1=21＜1，不等式成立. （2）假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即a k =k
k
k k )1(32132++⋅⋅⋅+++＜1 亦即1+22+33+…+k k ＜(k +1)k
当n =k +1时
a k +1=1
1
1132)2()1()1(]1)1[()1(321++++++++<+++++⋅⋅⋅+++k k k k k k k k k k k k =1)
2()2()1(++++k k k k k =(21++k k )k ＜1. ∴n =k +1时，不等式也成立.
由（1）、（2）知,对一切n ∈N *，不等式都成立.
13.证明：（1）当n =1时，一个圆把平面分成两个区域，而12－1+2=2，命题成立.
（2）假设n =k (k ≥1)时，命题成立，即k 个圆把平面分成k 2－k +2个区域.
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当n =k +1时，第k +1个圆与原有的k 个圆有2k 个交点，这些交点把第k +1个圆分成了2k 段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k 个区域，共有k 2－k +2+2k =(k +1)2－(k +1)+2个区域.
∴n =k +1时，命题也成立.
由（1）、（2）知，对任意的n ∈N *,命题都成立.
14.解：（1）∵log 2x +log 2(3·2k －1－x )≥2k －1
∴⎪⎩
⎪⎨⎧≥-⋅>-⋅>---12112)23(0230k k k x x x x ,解得2k －1≤x ≤2k , ∴f (k )=2k －2k －1+1=2k －1+1 (2)∵S n =f (1)+f (2)+…+f (n )=1+2+22+…+2n －1+n =2n +n －1
∴S n －P n =2n －n 2
n =1时,S 1－P 1=2－1=1＞0;n =2时，S 2－P 2=4－4=0
n =3时，S 3－P 3=8－9=－1＜0;n =4时，S 4－P 4=16－16=0
n =5时，S 5－P 5=32－25=7＞0;n =6时，S 6－P 6=64－36=28＞0
猜想，当n ≥5时，S n －P n ＞0
①当n =5时，由上可知S n －P n ＞0
②假设n =k (k ≥5)时，S k －P k ＞0
当n =k +1时,S k +1－P k +1=2k +1－(k +1）2=2·2k －k 2－2k －12(2k －k 2)+k 2－2k －1
=2(S k－P k)+k2－2k－1＞k2－2k－1=k(k－2)－1≥5(5－2)－1=14＞0 ∴当n=k+1时，S k+1－P k+1＞0成立
由①、②可知，对n≥5，n∈N*，S n－P n＞0成立即S n＞P n成立
由上分析可知，当n=1或n≥5时，S n＞P n
当n=2或n=4时，S n=P n
当n=3时，S n＜P n
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