数学归纳法2015高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力．复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤． 一、知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫作数学归纳法． [难点正本 疑点清源]1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 小试牛刀1．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 答案 π解析 易得f (k ＋1)＝f (k )＋π.2．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n >1)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是________．答案 2k解析 n ＝k 时，左边＝1＋12＋…＋12k －1，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋…＋12k ＋1－1.所以左边应增加的项的项数为2k .3．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a (a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，左边需计算的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 C解析 观察等式左边的特征易知选C.4．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B解析 因为假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 从n 到n 2共有n 2－n ＋1个数， 所以f (n )中共有n 2－n ＋1项. 二、典型例题题型一 用数学归纳法证明等式 例1 已知n ∈N *，证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). 思维启迪：等式的左边有2n 项，右边有n 项，左边的分母是从1到2n 的连续正整数，末项与n 有关，右边的分母是从n ＋1到n ＋n 的连续正整数，首、末项都与n 有关． 证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－1－12k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1－12k ＋1 ＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋1k ＋1＋k＋1k ＋1＋k ＋1＝右边，所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 综合①②知对一切n ∈N *，等式都成立．探究提高 用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时命题的真假(必不可少)．“假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题正确”并写出命题形式分析“n ＝k ＋1时”命题是什么，并找出与“n ＝k ”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．【变式1】 用数学归纳法证明： 对任意的n ∈N *，11×3＋13×5＋…＋12n －12n ＋1＝n2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＝k2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＋12k ＋12k ＋3＝k 2k ＋1＋12k ＋12k ＋3＝k 2k ＋3＋12k ＋12k ＋3＝2k 2＋3k ＋12k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋1＋1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *等式都成立．题型二 用数学归纳法证明不等式 例2 用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．思维启迪：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，即命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即 1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k>1＋k2＋2k ·12k ＋2k ＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k<12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．探究提高 (1)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．【变式2】 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12.则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12k ＋1－1>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2k ＋1＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立．题型三 用数学归纳法证明整除性问题例3 用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n 为正整数．思维启迪：当n ＝k ＋1时，把42(k ＋1)＋1＋3k ＋3配凑成42k ＋1＋3k ＋2的形式是解题的关键． 证明 (1)当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除， 则当n ＝k ＋1时，方法一 42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3 ＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)，∵42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除． ∴42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除．方法二 因为[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－3(42k ＋1＋3k ＋2)＝(42k ＋1·42＋3k ＋2·3)－3(42k ＋1＋3k ＋2) ＝42k ＋1·13，∵42k ＋1·13能被13整除，∴[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－3(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除，因而42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除， ∴当n ＝k ＋1时命题也成立，由(1)(2)知，当n ∈N ＋时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．探究提高 用数学归纳法证明整除问题，P (k )⇒P (k ＋1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P (k ＋1)进行分拆、配凑成P (k )的形式，也可运用结论：“P (k )能被p 整除且P (k ＋1)－P (k )能被p 整除⇒P (k ＋1)能被p 整除．”【变式3】 已知n 为正整数，a ∈Z ，用数学归纳法证明：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．证明 (1)当n ＝1时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1＝a 2＋a ＋1，能被a 2＋a ＋1整除．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝(a ＋1)2[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋a k ＋2－a k ＋1(a ＋1)2＝(a ＋1)2[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]－a k ＋1(a 2＋a ＋1)能被a 2＋a ＋1整除． 即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知，对于任意n ∈N ＋，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．题型四 归纳、猜想、证明【例4】在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 审题视角 (1)数列{a n }的各项均为正数，且S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，所以可根据解方程求出a 1，a 2，a 3；(2)观察a 1，a 2，a 3猜想出{a n }的通项公式a n ，然后再证明．规范解答解 (1)S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1得a 21＝1. ∵a n >0，∴a 1＝1，[1分] 由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，∴a 2＝2－1.[2分]又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2.[3分](2)猜想a n ＝n －n －1 (n ∈N *)[5分]证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－0，猜想成立．[6分]②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝k －k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，∴a k ＋1＝k ＋1－k .即n ＝k ＋1时猜想成立．[11分] 由①②知，a n ＝n －n －1 (n ∈N *)．[12分]温馨提醒 (1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．(2)本题易错原因是，第(1)问求a 1，a 2，a 3的值时，易计算错误或归纳不出a n 的一般表达式．第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.方法与技巧1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．2．对于证明等式问题，在证n ＝k ＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法．3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写． 失误与防范1．数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题．2．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础． 3．注意n ＝k ＋1时命题的正确性．4．在进行n ＝k ＋1命题证明时，一定要用n ＝k 时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法． 课堂练习一、选择题(每小题5分，共20分)1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为 ( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋23答案 D解析 左边的指数从0开始，依次加1，直到n ＋2，所以当n ＝1时，应加到23，故 选D.2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取 ( )A ．2B ．3C ．5D ．6答案 C解析 令n 0分别取2,3,5,6，依次验证即得． 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2 C.k ＋14＋k ＋122D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2答案 D解析 当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2.当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故应选D. 4．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)][(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )[2(2k ＋1)]， ∴应乘2(2k ＋1)．二、填空题(每小题5分，共15分)5．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步验证为________． 答案 当n ＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立 解析 由n ∈N ＋可知初始值为1.6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 答案 2k ＋1解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1. 三、解答题(共22分)8．(10分)若n 为大于1的自然数，求证： 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324. 证明 (1)当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712>1324.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324， 那么当n ＝k ＋1时， 1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1324＋122k ＋1k ＋1>1324.这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的自然数都成立． 9．(12分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． (1)解 由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13.a 2＝a 1·b 2＝13.∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1. (2)证明 ①当n ＝1时， 2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时， 2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a 2k(2a k ＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上． 课后练习一、选择题(每小题5分，共15分) 1．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法． 2．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12k ＋1B ．增加了两项12k ＋1、12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 答案 C解析 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1、12k ＋2，少了一项1k ＋1.3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．答案 (5,7)解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；一个整数n 所拥有数对为(n －1)对． 设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴n －1n2＝60，∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)．5．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋17…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12 (k >1)，则当n ＝k ＋1时，左端应乘上____________________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋3…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1－1 2k －1 解析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k＋1，最后一个是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1－1，根据等差数列通项公式可求得共有2k ＋1－1－2k ＋12＋1＝2k －2k－1＝2k －1项．6．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．答案 a n ＝12n －12n ＋1解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3， 即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163. ∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝12n －12n ＋1.三、解答题7．(13分)已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x )≥18. (1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，证明：a n <1n ＋1.(1)解 由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a 26.又f (x )max ≤16，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a 26≤16.所以a 2≤1.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x )≥18，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥18，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≥18，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－38≥18，a 4－332≥18，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1. (2)证明 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立．因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，0<f (x )≤16，所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13.故n ＝2时，原不等式也成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式0<a k <1k ＋1成立．因为f (x )＝ax －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13时，f (x )为增函数．所以由0<a k <1k ＋1≤13，得0<f (a k )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1. 于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1k ＋12＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42k ＋12k ＋2<1k ＋2.所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立． 根据①②，知对任何n ∈N *，不等式a n <1n ＋1成立．。