一、概念题：（共20分，每小题4分）1、何为束缚态？2、当体系处于归一化波函数ψ(,)ϖr t 所描述的状态时，简述在ψ(,)ϖr t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ϖψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)ϖr t 改写为ψ(,)ϖr t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。

5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。

1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。

能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。

2. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ˆˆ，然后将()t r ,ϖϕ按F 的本征态展开：()⎰∑+=λφφϕλλd c c t r nn n ,ϖ，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21⋅⋅⋅，n F λ=的几率为2n c ，F 在λλλd +~范围内的几率为λλd c 23. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。

位置表象中的波函数应表示为ϕrϖ。

4. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧时，若可以把不显含时间的∧H 分为大、小两部分∧∧∧'+=H HH )(0，其中（1）∧)(H 0的本征值)(nE 0和本征函数)(n0ψ是可以精确求解的，或已有确定的结果)(n)(n )(n)(E H0000ψψ=∧，（2）∧'H 很小，称为加在∧)(H0上的微扰，则可以利用)(n 0ψ和)(n E 0构造出ψ和E 。

5. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。

一、概念题：（共20分，每小题4分）1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？3、测不准关系是否与表象有关？4、在简并定态微扰论中，如∃()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 5、在自旋态χ12()s z 中，∃S x 和∃S y的测不准关系(∃)(∃)∆∆S S x y 22•是多少？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。

1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。

2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。

3、无关。

4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011100E HE H nnnnˆˆφφ--=-有解。

5、164η。

一、概念题：（共20分，每小题4分）1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger &&方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger &&方程的解？2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。

3、说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。

4、何谓选择定则。

5、能否由Schrodinger &&方程直接导出自旋？1、不是，是2、不一定，如z y x L ,L ,L ˆˆˆ互不对易，但在Y 00态下，0L L L zy x ===ˆˆˆ。

3、厄米矩阵的定义为矩阵经转置、共轭两步操作之后仍为矩阵本身，即*nm A ＝m n A ，可知对角线上的元素必为实数，而关于对角线对称的元素必互相共轭。

4、原子能级之间辐射跃迁所遵从的规则。

选择定则表明并非任何两能级之间的辐射跃迁都是可能的，只有遵从选择定则的能级之间的辐射跃迁才是可能的。

5、不能。

一、概念题：（共20分，每小题4分）1、叙述量子力学的态迭加原理。

2、厄米算符是如何定义的？3、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a N ˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。

4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。

5、自旋ϖηϖ∃∃S=2σ，问ϖ∃σ是否厄米算符？ϖ∃σ是否一种角动量算符？ 1、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加2211c c ψψψ+=（c 1、c 2是复数）也是这个体系的可能状态。

2、如果对于两任意函数ψ和ϕ，算符F ˆ满足下列等式()⎰⎰**=τϕψτϕψd F d F ˆˆ，则称F ˆ为厄米算符。

3、[]1a a =+ˆ,ˆΘ即1a a a a =-++ˆˆˆˆ又a a Nˆˆˆ+=Θ ()()()()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆNan a aa n aa 1a n aN a n aN n a n an n a n a n-1n ˆn-1an ++∴==-=-=-=-==1-n c n a =∴ˆ又n n n n n Nn ==ˆΘ且22c n c n n a a n n N n ===+ˆˆˆn c 2=∴取n c =得1-n n n a =ˆ4、()()()⋅⋅⋅+-++=∑m0mn2'nm'nn 0n n E E H H E E()()()()⋅⋅⋅+-+=∑m 0m 0m0n 'mn 0nn E E H ψψψ 适用条件：()()1E E H 0m0n 'mn<<-精品文档5、σˆϖ是厄米算符，但不是角动量算符。

一、概念题：（共20分，每小题4分）1、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。

2、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。

3、知∃Gee x x ααα=，问能否得到∃G d dx=？为什么？ 4、简述变分法求基态能量及波函数的过程。

5、简单Zeemann 效应是否可以证实自旋的存在？1．有关，例如r ˆϖ在位置表象和动量表象下的本征态分别为()P r i ˆer ϖϖηϖηϖ⋅=3P 21πψ和()()0P 0P P P ˆϖϖϖϖ-=δψ，它们的量纲显然不同。

2．坐标表象下动量的本征方程为()r P i P Ce r ϖϖηϖϖ⋅=ϕ，它有两种归一化方法：①归一化为δ函数：由()()()P P d r r P P '-=''⎰⎰⎰*ϖϖϖϖϖϖδτϕϕ得出()2321C ηπ=；②箱归一化：假设粒子被限制在一个立方体中，边长为L ，取箱中心为坐标原点，要求波函数在箱相对面上对应点有相同的值，然后由()()1d r r P P =''⎰⎰⎰*τϕϕϖϖϖϖ得出23L1C =。

3．不能，因为所作用的波函数不是任意的。

4．第一步:写出体系的哈密顿算符；第二步:根据体系的特点(对称性,边界条件和物理直观知识),寻找尝试波函数()λψ,λ为变分参数,它能够调整波函数(猜一个)；第三步:计算哈密顿在()λψ态中的平均值τλψλψτλψλλψλd d H H )()()()()()(**⎰⎰=第四步:对()λH 求极值,即令()0d H d =λλ,求出()λm in H ,则()0min E H λ≈，()min H 0λψψ≈5．不可以。

一、概念题：（共20分，每小题4分）1、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级E n 的简并度是多少？若粒子自旋为s ，问E n的简并度又是多少?2、根据]ˆ,ˆ[1ˆH F i t F dt F d η+∂=∂说明粒子在辏力场中运动时，角动量守恒。

3、对线性谐振子定态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别？ 4、简述氢原子的一级stark 效应。

5、写出∃J jm +的计算公式。

1．不考虑自旋时，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级可表示为n E ，其简并度为2n 。

若考虑粒子的自旋为s ，则n E 的简并度为2(21)s n +。

2．粒子在奏力场中运动时，Hamilton 算符为：()r U rL ˆr r r r H ˆ++∂∂∂∂-=22222212μμη，则有：[][]02==H ˆ,L ˆH ˆ,L ˆα，又因角动量不显含时间，得0=dtF d 、角动量守恒。

3．旧量子论给出线性谐振子的基态能量为零而量子力学认为其基态有能量，为ωη21；另外，量子力学表明，在旧量子论中粒子出现区域以外也有发现粒子的可能。

4． 在氢原子外场作用下，谱线（21n n =→=）发生分裂（变成3条）的现象。

5．ˆ,,1J j m j m +=+。

一、概念题：（共20分，每小题4分）1、由12=⎰τψd ，说明波函数的量纲。

2、Fˆ、G ˆ为厄米算符，问[F ˆ，G ˆ]与i [F ˆ，G ˆ]是否厄米算符？ 3、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a N ˆˆˆ+=，n n n N =ˆ证明：11ˆ++=+n n n a 。

4、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？5、什么是耦合表象？1．波函数的量纲由坐标τ的维数来决定。

对一维、二维、三维，τ的量纲分别为[]L 、2[]L 、3[]L ，则波函数的量纲依次为12L -、1L -、3L -。

2．[ˆF，ˆG ]不是厄米算符，i [ˆF ，ˆG ]是厄米算符。

因为ˆˆˆˆ(,),i FG i F G +⎤⎡⎤⎡=⎣⎦⎣⎦3． 证明：可证明算符+a ˆ,aˆ对于能量本征态的作用结果是： ()1-=n n n aˆλ ()1+=+n n n a ˆν (1) νλ,为待定系数。

上式的共轭方程是：()1-=*+n n aˆn λ ()1+=*n n a ˆn ν (2) 式(1)和(2)相乘（取内积）并利用已知条件，即得：n n a ˆaˆn ==+*λλ ()11+=+==++*n n a ˆa ˆn n a ˆa ˆn νν 适当选择态矢量n 的相因子(αi e )，总可使λ和ν为非负实数。

因此，()()1,+==n n n n νλ故得证。

4．利用量子力学的含时微扰论，可以直接计算出受激发射系数和受激吸收系数；但由于没有考虑到电磁场的量子化（即量子力学中的二次量子化），自发跃迁系数不能直接被推导出来，可在量子电动力学（QED ）中计算出。

5．以J ˆ表示1ˆJ 与2ˆJ 之和：21ˆˆˆJ J J +=；算符2221ˆ,ˆ,ˆ,ˆJ J J J z 相互对易、有共同本征矢m j j j ,,,21，j 和m 表明2ˆJ 和z J ˆ的对应本征值依次为()21η+j j 和ηm 。

m j j j ,,,21组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为耦合表象。

一、概念题：（共20分，每小题4分）1、不考虑粒子内部自由度，宇称算符Pˆ是否为线性厄米算符？为什么？ 2、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。