2018-2019学年山东省临沂市沂水县九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题14个小题，每小题3分，共42分；每题中只有一个答案符合要求）1. 在−2，0，1，2这四个数中，为负数的是（ ） A.−2 B.0C.1D.22. 下列各式中，运算正确的是（ ） A.(a 3)2＝a 5 B.(a −b)2＝a 2−b 2C.a 6÷a 2＝a 4D.a 2+a 2＝2a 43. 如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1＝50∘，则∠2的度数为（ ）A.55∘B.50∘C.45∘D.40∘4. 下列对一元二次方程x 2+x −3=0根的情况的判断，正确的是（ ） A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根 C.有且只有一个实数根 D.没有实数根5. 不等式组{−2x −4>0x −3≤0 的解集是（ ）A.x <−2B.x ≤3C.−2<x ≤3D.−2<x <36. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B ，D ，AO =4m ，AB =1.6m ，CO =1m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为（ ）A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m7. 如图所示，该几何体的主视图为（）A. B. C. D.8. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A.19B.16C.13D.239. 荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到荆州观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整）．根据图中信息，下列结论错误的是（）A.本次抽样调查的样本容量是5000B.扇形图中的m为10%C.样本中选择公共交通出行的有2500人D.若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人10. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》晨有道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁“．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得( )A.x3 + 3(100−x)=100 B.x3 − 3(100−x)=100C.3x+100−x3=100 D.3x−100−x3=10011. 如图，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE= 5，BF=3，EF=2，则AD的长为________.12. 一次函数y＝−x+1的图象与反比例函数y=kx的图象交点的纵坐标为2，当−3<x<−1时，反比例函数y=kx中y的取值范围是（）A.−2<y<−23B.−1<y<−13C.23<y<2 D.−3<y<−113. 如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE // CA，DF // BA，下列四个判断中，不正确的是（）A.四边形AEDF是平行四边形B.如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形C.如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形D.如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形14. 如图，抛物线y1=12(x+1)2+1与y2=a(x−4)2−3交于点A(1, 3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于A,B两点，且D,E分别为顶点．则下列结论：①a=23；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1>y2；其中正确结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）计算：(π−3.14)0+2cos60∘＝________．已知2m−3n＝−4，则代数式m(n−4)−n(m−6)的值为________．如图，在▱ABCD中，AB＝2√13cm，AD＝4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长4cm．如图，在△ABC中，BC＝6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧EF̂上的一点，且∠EPF＝50∘，则图中阴影部分的面积是________．一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a−b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2−1”得到的，那么这组数中y表示的数为________．三、解答题（本题7个小题，共63分）化简：1a−1−1a2+a÷a2−1a2+2a+1某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：对这30个数据按组距3进行分组，并整理、描述和分析如下．频数分布表数据分析表请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a＝________，b＝________，c＝________；（2）若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有________位营业员获得奖励；（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60∘方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：√6≈2.449，结果保留整数）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且DÊ=BÊ．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求BD的长．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：（1）根据表中数据的规律，完成以下表格，并直接写出y关于x的函数解析式；（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；（3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围．问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB＝2cm，AC ＝4cm．操作发现：（1）将图1中的△________以点________为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠________，得到如图2所示的△________′________，过点________作________′的平行线，与________'的延长线交于点________，则四边形________′的形状是________．（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论．实践探究：（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．如图①，直线y=12x−3与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y=14x2+bx+c过B，C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．参考答案与试题解析2018-2019学年山东省临沂市沂水县九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题14个小题，每小题3分，共42分；每题中只有一个答案符合要求）1.【答案】A【考点】正数和负数的识别【解析】根据负数的定义可以从题目中的四个数据中，得到哪些数是负数，从而可以解答本题．【解答】在−2，0，1，2这四个数中，负数是：−2，2.【答案】C【考点】幂的乘方与积的乘方完全平方公式同底数幂的除法合并同类项【解析】根据同底数幂的乘法、除法法则，合并同类项法则，幂的乘方，乘法公式一一判断即可；【解答】A、错误．(a3)2＝a5；B、错误．(a−b)2＝a2−2ab+b2；C、正确．D、错误．a2+a2＝2a23.【答案】D【考点】平行线的性质【解析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题；【解答】∵∠1＝∠3＝50∘，∠2+∠3＝90∘，∴∠2＝90∘−∠3＝40∘，4.【答案】A【考点】根的判别式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】A【考点】解一元一次不等式组【解析】分别解两个不等式得到x<−2和x≤3，然后根据同小取小确定不等式组的解集．【解答】{−2x−4>0x−3≤0，解①得x<−2，解②得x≤3，所以不等式组的解集为x<−2．6.【答案】C【考点】相似三角形的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90∘．又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽∽CDO，则AOCO =ABCD．∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴41=1.6CD，解得CD=0.4m．故选C．7.【答案】B【考点】简单组合体的三视图【解析】找到从正面看所得到的图形即可．【解答】从正面看两个矩形，中间的线为虚线，8.【答案】C【考点】列表法与树状图法【解析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39=13，9.【答案】D【考点】总体、个体、样本、样本容量扇形统计图用样本估计总体条形统计图【解析】结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．【解答】A、本次抽样调查的样本容量是200040%=5000，正确；B、扇形图中的m为10%，正确；C、样本中选择公共交通出行的有5000×50%＝2500人，正确；D、若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%＝20万人，错误；10.【答案】C【考点】由实际问题抽象出一元一次方程【解析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数＝100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数＝100，依此列出方程即可．【解答】解：设大和尚有x 人，则小和尚有(100−x)人，根据题意得：3x + 100 − x 3=100. 故选C.11.【答案】6【考点】全等三角形的性质与判定【解析】由题意可证△ABF ≅△CDF ，可得BF ＝DE ＝3，CE ＝AF ＝5，可求AD 的长．【解答】解：∵ AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，∴ ∠C +∠D =90∘，∠A +∠D =90∘，∴ ∠A =∠C .∵ BF ⊥AD ，∴ ∠AFB =∠CED =90∘.在△ABF 和△CDE 中，{∠AFB =∠CED ，∠A =∠C ，AB =CD ，∴ △ABF ≅△CDE(AAS)，∴ DE =BF =3，AF =CE =5，∴ AE =AF −EF =5−2=3，∴ AD =AE +DE =3+3=6.故答案为：6.12.【答案】C【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】把一个交点的纵坐标是2代入y ＝−x +1求出横坐标为−1，把(−1, 2)代入y =k x 出k ，令−3<x <−1，求出−2x 的取值范围，即可求出y 的取值范围．【解答】把一个交点的纵坐标是2代入y ＝−x +1求出横坐标为−1，把(−1, 2)代入y =k x ，解得：k＝−2，故反比例函数为y=−2x，当x＝−3时，代入y=−2x 得y=23，故x＝−3时反比例函数的值为：23，当x＝−1时，代入y=−2x得y＝2，又知反比例函数y=−2x在−3<x<−1时，y随x的增大而增大，即当−3<x<−1时反比例函数y的取值范围为：23<y<2．13.【答案】D【考点】平行四边形的判定菱形的判定矩形的判定正方形的判定【解析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90∘的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】A、因为DE // CA，DF // BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、如果AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠FAD，∵∠FAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．14.【答案】B【考点】二次函数的性质二次函数图象与几何变换等腰直角三角形【解析】把点A坐标代入y2，求出a的值，即可得到函数解析式；令y＝3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．【解答】解：∵抛物线y1=12(x+1)2+1与y2=a(x−4)2−3交于点A(1, 3)，∴3=a(1−4)2−3，解得：a=23，故①正确；过点E作EF⊥AC于点F，∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，E(4, −3)，∴AF=3，EF=6，∴AE=√62+32=3√5，AC=2AF=6，∴AC≠AE，故②错误；当y=3时，3=12(x+1)2+1，解得：x1=1，x2=−3，故B(−3, 3)，D(−1, 1)，则AB=4，AD=BD=2√2，∴AD2+BD2=AB2，∴△ABD是等腰直角三角形，故③正确；∵12(x+1)2+1=23(x−4)2−3时，解得：x1=1，x2=37，∴当37>x>1时，y1>y2，故④错误．故选B.二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）【答案】2【考点】零指数幂实数的运算特殊角的三角函数值【解析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】原式＝1+2×12=1+1＝2，【答案】8【考点】整式的混合运算——化简求值【解析】先将原式化简，然后将2m−3n＝−4代入即可求出答案．【解答】当2m−3n＝−4时，∴原式＝mn−4m−mn+6n＝−4m+6n＝−2(2m−3n)＝−2×(−4)＝8【答案】4．【考点】平行四边形的性质【解析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝2√13cm，AD＝BC＝4cm，AO＝CO，BO＝DO，根据勾股定理得到OC＝3cm，BD＝10cm，于是得到结论．【解答】在▱ABCD中，∵AB＝CD＝2√13cm，AD＝BC＝4cm，AO＝CO，BO＝DO，∵AC⊥BC，∴AC=√AB2−BC2=6cm，∴OC＝3cm，∴BO=√OC2+BC2=5cm，∴BD＝10cm，∴△DBC的周长−△ABC的周长＝BC+CD+BD−(AB+BC+AC)＝BD−AC＝10−6＝4cm，【答案】6−10 9π【考点】切线的性质扇形面积的计算【解析】由于BC切⊙A于D，连接AD可知AD⊥BC，从而可求出△ABC的面积；根据圆周角定理，易求得∠EAF＝2∠EPF＝100∘，圆的半径为2，可求出扇形AEF的面积；图中阴影部分的面积＝△ABC的面积-扇形AEF的面积．【解答】连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF＝2∠EPF＝100∘，∴S扇形AEF =100π×22360=109π，S△ABC=12AD⋅BC=12×2×6＝6，∴S阴影部分＝S△ABC−S扇形AEF＝6−109π．【答案】−9【考点】规律型：数字的变化类【解析】根据“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a−b”，首先建立方程2×3−x＝7，求得x，进一步利用此规定求得y即可．【解答】解：∵从第三个数起，前两个数依次为a，b，紧随其后的数就是2a−b，∴7×2−y=23，∴y=−9.故答案为：−9.三、解答题（本题7个小题，共63分）【答案】原式=1a−1−1a(a+1)⋅(a+1)2(a+1)(a−1)=1a−1−1a(a−1)=a−1a(a−1)=1a．【考点】分式的混合运算【解析】原式利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．【解答】原式=1a−1−1a(a+1)⋅(a+1)2(a+1)(a−1)=1a−1−1a(a−1)=a−1a(a−1)=1a．【答案】3,4,158想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为18万合适．因为中位数为18，即大于18与小于18的人数一样多，所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标．【考点】用样本估计总体算术平均数频数（率）分布表中位数众数【解析】（1）从表中数出落在22≤x<25和28≤x<31范围内的数据个数得到a、b的值，利用众数定义确定c的值；（2）利用频数分布表，后面三组的频数和为获得奖励的营业员的数量；（3）利用中位数的意义进行回答．【解答】在22≤x<25范围内的数据有3个，在28≤x<31范围内的数据有4个，15出现的次数最大，则众数为15；月销售额不低于25万元为后面三组数据，即有8位营业员获得奖励；故答案为3，4，15；8；想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为18万合适．因为中位数为18，即大于18与小于18的人数一样多，所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标．【答案】解：作PC⊥AB于C点，如图：∴∠APC=30∘，∠BPC=45∘，AP=80（海里）．在Rt△APC中，cos∠APC=PCPA，∴PC=PA⋅cos∠APC=40√3（海里）．在Rt△PCB中，cos∠BPC=PCPB，∴PB=PCcos∠BPC =40√3cos45∘=40√6≈100（海里）．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB．【解答】解：作PC⊥AB于C点，如图：∴∠APC=30∘，∠BPC=45∘，AP=80（海里）．在Rt△APC中，cos∠APC=PCPA，∴PC=PA⋅cos∠APC=40√3（海里）．在Rt△PCB中，cos∠BPC=PCPB，∴PB=PCcos∠BPC =40√3cos45∘=40√6≈100（海里）．【答案】△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如图，∵DÊ=BÊ，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB＝90∘，∴AE⊥BC，∵∠C+∠CAE＝90∘，∠ABC+∠BAE＝90∘，∴∠C＝∠ABC，∴AC＝AB，∴△ABC为等腰三角形；∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE=CE=12BC=12×12=6，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE=√AB2−BE2=√102−62=8，∵AB为直径，∴∠ADB＝90∘，∴12AE⋅BC=12BD⋅AC，∴BD=8×1210=485，【考点】圆心角、弧、弦的关系圆周角定理【解析】（1）结论：△ABC为等腰三角形．证明∠C＝∠ABC即可解决问题．（2）利用勾股定理求出AB，再利用面积法解决问题即可．【解答】△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如图，∵ DÊ=BE ̂， ∴ ∠DAE ＝∠BAE ，即AE 平分∠BAC ，∵ AB 为直径，∴ ∠AEB ＝90∘，∴ AE ⊥BC ，∵ ∠C +∠CAE ＝90∘，∠ABC +∠BAE ＝90∘，∴ ∠C ＝∠ABC ，∴ AC ＝AB ，∴ △ABC 为等腰三角形；∵ △ABC 为等腰三角形，AE ⊥BC ，∴ BE =CE =12BC =12×12=6，在Rt △ABE 中，∵ AB ＝10，BE ＝6，∴ AE =√AB 2−BE 2=√102−62=8，∵ AB 为直径，∴ ∠ADB ＝90∘，∴ 12AE ⋅BC =12BD ⋅AC ，∴ BD =8×1210=485，【答案】由题意{x +y =120y =−12x +75，解得{x =90y =30 ， ∴ 单层部分的长度为90cm ．由题意当y =0，x =150，当x =0时，y =75，∴ 75≤l ≤150【考点】一次函数的应用【解析】（1）观察表格可知，y 是x 的一次函数，设y =kx +b ，利用待定系数法即可解决问题；（2）列出方程组即可解决问题；（3）由题意当y =0，x =150，当x =0时，y =75，可得75≤l ≤150．【解答】（1）观察表格可知，y 是x 的一次函数，设y =kx +b ，则有{4k +b =736k +b =72 ，解得{k =−12b =75， ∴ y =−12x +75．当x =10时，y =70，x =150时，y =0；补全表格【答案】ACD,A,BAC,AC,D,C,AC,DC,E,ACEC,菱形在图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB // CD，∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90∘，∴∠BAC+∠ACB＝90∘在图3中，由旋转知，∠DAC′＝∠DAC，∴∠ACB＝∠DAC′，∴∠BAC+∠DAC′＝90∘，∵点D，A，B在同一条直线上，∴∠CAC′＝90∘，由旋转知，AC＝AC′，∵点F是CC′的中点，∴AG⊥CC′，CF＝C′F，∵AF＝FG，∴四边形ACGC′是平行四边形，∵AG⊥CC′，∴▱ACGC′是菱形，∵∠CAC′＝90∘，∴菱形ACGC′是正方形；在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∴BC′＝AC＝4，BD＝BC＝2√3，sin∠ACB=ABAC =12，∴∠ACB＝30∘，由（2）结合平移知，∠CHC′＝90∘，在Rt△BCH中，∠ACB＝30∘，∴BH＝BC⋅sin30∘=√3，∴C′H＝BC′−BH＝4−√3，在Rt△ABH中，AH=12AB＝1，∴CH＝AC−AH＝4−1＝3，在Rt△CHC′中，tan∠C′CH=C ′HCH =4−√33．【考点】四边形综合题【解析】（1）先判断出∠ACD＝∠BAC，进而判断出∠BAC＝∠AC′D，进而判断出∠CAC′＝∠AC′D，即可的结论；（2）先判断出∠CAC′＝90∘，再判断出AG⊥CC′，CF＝C′F，进而判断出四边形ACGC′是平行四边形，即可得出结论；（3）先判断出∠ACB＝30∘，进而求出BH，AH，即可求出CH，C′H，即可得出结论．【解答】在如图1中，∵AC是矩形ABCD的对角线，∴∠B＝∠D＝90∘，AB // CD，∴∠ACD＝∠BAC，在如图2中，由旋转知，AC′＝AC，∠AC′D＝∠ACD，∴ ∠BAC ＝∠AC ′D ，∵ ∠CAC ′＝∠BAC ，∴ ∠CAC ′＝∠AC ′D ，∴ AC // C ′E ，∵ AC ′ // CE ，∴ 四边形ACEC ′是平行四边形，∵ AC ＝AC ′，∴ ▱ACEC ′是菱形，故答案为：菱形；在图1中，∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB // CD ，∴ ∠CAD ＝∠ACB ，∠B ＝90∘，∴ ∠BAC +∠ACB ＝90∘在图3中，由旋转知，∠DAC ′＝∠DAC ，∴ ∠ACB ＝∠DAC ′，∴ ∠BAC +∠DAC ′＝90∘，∵ 点D ，A ，B 在同一条直线上，∴ ∠CAC ′＝90∘，由旋转知，AC ＝AC ′，∵ 点F 是CC ′的中点，∴ AG ⊥CC ′，CF ＝C ′F ，∵ AF ＝FG ，∴ 四边形ACGC ′是平行四边形，∵ AG ⊥CC ′，∴ ▱ACGC ′是菱形，∵ ∠CAC ′＝90∘，∴ 菱形ACGC ′是正方形；在Rt △ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，∴ BC ′＝AC ＝4，BD ＝BC ＝2√3，sin ∠ACB =AB AC =12，∴ ∠ACB ＝30∘，由（2）结合平移知，∠CHC ′＝90∘，在Rt △BCH 中，∠ACB ＝30∘，∴ BH ＝BC ⋅sin 30∘=√3，∴ C ′H ＝BC ′−BH ＝4−√3，在Rt △ABH 中，AH =12AB ＝1， ∴ CH ＝AC −AH ＝4−1＝3，在Rt △CHC ′中，tan ∠C′CH =C ′H CH =4−√33．【答案】由题意C(0, −3)，B(6, 0)，把C(0, −3)，B(6, 0)代入y =14x 2+bx +c 得到{c =−39+6b +c =0 ， 解得{b =−1c =−3，∴抛物线的解析式为y=14x2−x−3．如图①中，作AD // BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．∵直线BC的解析式为y=12x−3，A(−2, 0)，∴直线AD的解析式为y=12x+1，由{y=12x+1y=14x2−x−3，解得{x=−2y=0或{x=8y=5，∴D(8, 5)．∵直线AD交y轴于E(0, 1)，点E关于点C的对称点E′(0, −7)，∴过点E′平行BC的直线的解析式为y=12x−7，由{y=12x−7y=14x2−x−3，方程组无解，∴在直线BC的下方不存在满足条件的点D．∴满足条件的点D(8, 5)．设M(m, 12m−3)，则N(m+2, 12m−2)，∴P(m, 14m2−m−3)，Q[m+2, 14(m+2)2−(m+2)−3]，∴PM=12m−3−(14m2−m−3)，NQ=12m−2−[14(m+2)2−(m+2)−3]，当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴|12m−3−(14m2−m−3)|＝|12m−2−[14(m+2)2−(m+2)−3]|，解得：m＝2或2±2√2，∴满足条件的点M的坐标为(2, −2)或(2+2√2, √2−2)或(2−2√2, −√2−2)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）如图①中，作AD // BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．求出直线AD使得解析式，构建方程组确定两点坐标即可．（3）设M(m, 12m −3)，则N(m +2, 12m −2)，可得P(m, 14m 2−m −3)，Q[m +2, 14(m +2)2−(m +2)−3]，推出PM =12m −3−(14m 2−m −3)，NQ =12m −2−[14(m +2)2−(m +2)−3]，当PM ＝QN 时，点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，由此构建方程即可解决问题．【解答】由题意C(0, −3)，B(6, 0)，把C(0, −3)，B(6, 0)代入y =14x 2+bx +c 得到{c =−39+6b +c =0， 解得{b =−1c =−3， ∴ 抛物线的解析式为y =14x 2−x −3． 如图①中，作AD // BC 交抛物线于D ，则S △ABC ＝S △BCD ．∵ 直线BC 的解析式为y =12x −3，A(−2, 0)， ∴ 直线AD 的解析式为y =12x +1， 由{y =12x +1y =14x 2−x −3，解得{x =−2y =0 或{x =8y =5 ， ∴ D(8, 5)．∵ 直线AD 交y 轴于E(0, 1)，点E 关于点C 的对称点E′(0, −7)，∴ 过点E′平行BC 的直线的解析式为y =12x −7，由{y =12x −7y =14x 2−x −3 ，方程组无解， ∴ 在直线BC 的下方不存在满足条件的点D ．∴ 满足条件的点D(8, 5)．设M(m, 12m −3)，则N(m +2, 12m −2)，∴ P(m, 14m 2−m −3)，Q[m +2, 14(m +2)2−(m +2)−3]，∴PM=12m−3−(14m2−m−3)，NQ=12m−2−[14(m+2)2−(m+2)−3]，当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴|12m−3−(14m2−m−3)|＝|12m−2−[14(m+2)2−(m+2)−3]|，解得：m＝2或2±2√2，∴满足条件的点M的坐标为(2, −2)或(2+2√2, √2−2)或(2−2√2, −√2−2)．。