2015-2016学年第一学期数学寒假作业（1）
一、选择题：
（1）设集合A={–2，–1，3，4}，B={–1，0，3}，则A ∪B 等于（ ）．
（A ）{–1，3} （B ）{–2，–1，0，3，4} （C ）{–2，–1，0，4} （D ）{–2，–1，3，4} （2）cos (–570︒)的值为（ ）．
（A ）
21 （B ）23 （C ）–2
1
（D ）–23
（4）已知等差数列{a n }中，a 2=7，a 4=15，则其前10项的和为（ ）．
（A ）100 （B ）210
（C ）380 （D ）400 （5）命题“若x 2+y 2=0，则x=y=0”的否命题是（ ）．
（A ）若x 2+y 2≠0，则x ，y 都不为0 （B ）若x 2+y 2=0，则x ，y 都不为0 （C ）若x 2+y 2=0，则x ，y 中至少有一个不为0 （D ）若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 （6）函数f (x )=log 4x 与g (x )=22x 的图象（ ）．
（A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于直线y=x 对称 （7）椭圆
14
92
2=+x
y 的焦点坐标是（ ）
． （A ）(0，±5) （B ）(±5，0) （C ）(0，±13) （D ）(±13，0) （8）双曲线9x 2
–16y 2
=144的渐近线方程是（ ）．
（A ）x y 169±
= （B ）x y 43±= （C ）x y 9
16±= （D ）x y 34
±= （9）过点A (2，3)且垂直于直线2x+y –5=0的直线方程为（ ）．
（A ）x –2y+4=0 （B ）2x+y –7=0 （C ）x –2y+3=0 （D ）x –2y+5=0 （10）过点(1，–2)的抛物线的标准方程是（ ）．
（A ）y 2=4x 或x 2=21y （B ）y 2=4x （C ）y 2=4x 或x 2=–21y （D ）x 2=–2
1
y
（11）当x ，y 满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≥≥0320y x y y x ，
，
时，目标函数z=x+3y 的最小值是（ ）． （A ）0 （B ）1.5 （C ）4 （D ）9
（12）执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入的x 应为（ ）．
（A ）–2 （B ）16 （C ）–2或8 （D ）–2或16
（13）将函数y=sin (
21x+3
π
)的图象向右平移3π，所得图象对应的表达式为（ ）． （A ）y=sin
21x （B ）y=sin (21x+6π) （C ）y=sin (21x –3π) （D ）y=sin (21x –3
2π) （14）某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是（ ）．
（A ）16 （B ）12 （C ）8 （D ）6 （15）已知向量a =(3，1)，b =(m ，1)．若向量a ，b 的夹角为
3
2π
，则实数m=（ ）． （A ）–3 （B ）3 （C ）–3或0 （D ）2
（16）已知函数f (x )=2x 2–2x ，则在下列区间中，f (x )=0有实数解的是（ ）．
（A ）(–3，–2) （B ）(–1，0) （C ）(2，3) （D ）(4，5) （17）0.32，log 20.3，20.3这三个数之间的大小关系是（ ）．
（A ）0.32＜log 20.3＜20.3 （B ）0.32＜20.3＜log 20.3（C ）log 20.3＜0.32＜20.3 （D ）log 20.3＜20.3＜0.32 （18）一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（ ）． （A ）
2
1 （B ）31 （C ）41 （D ）52
（19）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面为边长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值为（ ）．
第（14）题
第（12）题
（A
）2 （B
）2 （C
）4 （D
）4
（20）下列四种说法中，错误的个数是（ ）．
①命题“∃x ∈R ，x 2–x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2–x ≤0”； ②命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的必要不充分条件； ③“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真；
④若实数x ，y ∈[0，1]，则满足x 2+y 2＞1的概率为4
π
．
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个
（D ）3个
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上。

（21）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 ．
（22）关于x 的不等式(mx –1)(x –2)＞0，若此不等式的解集为{x |m
1
＜x ＜2}，则m 的取值范围是 ． （23）若a ＞1，则a+
1
1
-a 的最小值是 ． （24）已知钝角△ABC 的面积为23，AB =2，BC =4，则该三角形的外接圆半径为________ ． 三、解答题：（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 26、已知sin α=–
5
3，α∈(–2π，2π
)．（Ⅰ）求sin2α的值；（Ⅱ）求tan (43π–α)的值．
27、在等比数列{a n }中，a 2–a 1=2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的首项和公比；（Ⅱ）求数列{a n }的前n 项和S n ．
28、在直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2+y 2+4x –2y+m=0与直线x –3y+3–2=0相切．（Ⅰ）求圆
C 的方程；（Ⅱ）若圆C 上有两点M ，N 关于直线x+2y=0对称，且|MN |=23，求直线MN 的方程．
天津市南开区20XX 年高中学业水平测试
数学模拟试卷参考答案
一、选择题：
二、填空题：
（21）45，46； （22）m ＜0； （23）3； （24）3
214； （25）79
45a ； 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （26）解：（Ⅰ）因为α∈(–
2π，2π
)，sin α=–5
3， 所以cos α=α2sin 1-=54
． …………2分
由sin2α=2sin αcos α=–25
24
． …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得tan α=ααcos sin =–4
3
． …………5分
所以tan (43π–α)=απαπtan 43tan 1tan 43tan +-=
4
31431++-=–71． …………8分
（27）解：（Ⅰ）设{a n }的公比为q ．由已知可得
a 1q –a 1=2，4a 1q =3a 1+a 1q
2， …………2分
所以a 1(q –1)=2，q 2–4q +3=0，解得q=3或q=1， …………5分 由于a 1(q –1)=2，因此q=1不合题意，应舍去， …………6分 故公比q=3，首项a 1=1． …………8分
（Ⅱ）所以，数列的前n 项和S n =q
q a n --1)1(1=3131--n =21
3-n ． …………10分
（28）解：（Ⅰ）圆C 的标准方程为(x+2)2+(y –1)2=5–m ， …………1分
圆C 的半径r 等于圆心C 到直线x –3y+3–2=0的距离，
即r=
3
1|
2332|+-+--=2，∴ 5–m=4， …………3分
∴m=1，圆C 的方程x 2+y 2+4x –2y+1=0． …………5分 （Ⅱ）由题意，可设直线MN 的方程为2x –y+a=0， …………6分 则圆心C 到直线MN 的距离d=
5
|
14|a +--， …………7分 由d 2
+(2
||MN )2=r 2
，即5)5(2-a +(3)2=22，
解得a=5±5． …………9分 ∴直线MN 的方程为2x –y+5+5=0或2x –y+5–5=0． …………10分
（29）解：（Ⅰ）∵f '(x )=3x 2+3＞0，
∴f (x )在定义域R 上单调递增． …………2分 （Ⅱ）g (x )=x 3+3x –4+3a (x 2–2x+4)=x 3+3ax 2+(3–6a )x+12a –4， g '(x )=3x 2+6ax+(3–6a )，
由g (0)=12a –4，g '(0)=3–6a 得
曲线y=g (x )在x=0处的切线方程为y=(3–6a )x+12a –4，
由此知曲线y=g (x )在x=0处的切线过点(2，2)． …………7分 （Ⅲ）由g '(x )=0得x 2+2ax+(1–2a )=0，
∵g (x )在x=x 0处取得极小值，且x 0∈(1，3)，
∴方程x 2+2ax+(1–2a )=0较大的根在区间(1，3)内． 令h (x )=x 2+2ax+(1–2a )，
∴⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧>-++=>-++=<-<>--，
，
，
，
02169)3(02121)1(310)21(442a a h a a h a a a 解得 –25＜a ＜–2–1，
5
∴a的取值范围是(–
，–2–1)．…………12分
2。