有限元原理及工程应用——大作业学院：机械工程学院班级：硕4002班小组成员：李追3114001089陈草31140010802015.5.19作业题目：利用有限元方法对简支梁问题进行求解，梁的横截面为矩形，其约束情况如图1所示。

已知梁的几何尺寸和物理参数如下：（1）几何尺寸：长度40cm L =，截面尺寸2cm 02cm .b t ⨯=⨯；（2）物理参数：弹性模量70E =GPa ，泊松比0.3ν=，密度3=2700kg/m ρ。

图1．梁及其横截面示意图要求：(1) 至少划分五个节点（四个单元）； (2) 给出单元节点信息；(3) 给出单元刚度矩阵和质量矩阵； (4) 给出总刚度矩阵和总质量矩阵； (5) 求出梁各界固有频率及振型（五阶）；(6) 将所得结果与理论值进行对比，验证方法的可行性。

解：由有限元知识，根据Rayleigh-Ritz 法，解有限元分为四步：建立离散化、单元分析、形成总体方程、解方程，具体步骤如下： （1）建立离散化这里我们将矩形截面简支梁等分四等分，即分为六节点的五个杆单元，如图2所示：每个单元尺寸40cm=8cm 55L l ==，这里只考虑杆在竖直平面的弯曲，每个节点只有y 方向位移和绕z 轴的旋转自由度。

（2）单元分析构造一组Lagrange 插值基函数，在本节点值为1，其他节点值为0。

从Rayleigh-Ritz 法可以看到，插值函数要p 次可微，最高阶导数出现在应变能表达式中；同样，我们可以这一原则适用于基函数的选择以及形状函数，否则我们将无法正确计算应变能当我们使用有限元逼近方法。

梁的弯曲问题，应变能计算公式：()2220,12Lz v x t U EI dx x ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭⎰ （1-1） 其中，E 为弹性模量，I z 为截面惯性矩。

从公式可知，位移函数必须连续，并且二阶导数平方可积。

如图3，是一维杆单元模型，每个节点两个自由度，该单元含有四个自由度，即（,,,i zi j zj v v θθ）。

本题中我们采用三次多项式插值函数：()231234u x x x x αααα=+++ （1-2）因此，我们必须给出四个形函数（位移模式）。

图3 一维杆单元模型 1) 构造Hermite 插值函数。

选择局部坐标系x ξ=(()0,0i n ,(),0j n l )，其中l 是单元长度，转角z θ是挠度值v 的一阶导数，定义边界条件：()()''i i i iv x v v x v== （1-3）因此，我们给出变形的Hermite 的多项式插值函数：()()()22(0)(1)'11ii i i i i v Hv H v ξξξ===+∑∑ （1-4）其中，()(0)i H ξ和()(1)i H ξ分别满足如下条件，对应的图形如图4所示：()()()()(0)(0)(1)(1)d 0d d 0d jji ijijii j ijH HHH ξξξξδξξξδξ==== （1-5）图4 一维Hermite 插值多项式2) 基于Langrage 和Hermite 插值多项式，写出单元形函数1.00.5()()()()()()()()()()(0)23(1)231121(0)3(1)323242==132==2==32==N H N H l N HN Hlξξξξξξξξξξξξξξξξξ-+-+-- （1-6）节点位移值也可以得出()()()()()1234i zi j zj v N v N N v N ξξξθξξθ=+++ （1-7）同时，表达式（1-7）用矩阵表示为()(){}e v ξξ=⎡⎤⎣⎦N v （1-8）其中，{}{}T,,,e i zi j zj v v θθ=v ，()()()()()1234N N N N ξξξξξ=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦Ν3) 用能量表达式替代表达式中的v 和ϕ。

动能表达式：(){}[]{}1201122Te e T Av d ρξαξ==⎰e v M v （1-9）将（1-8）带入（1-9），得到{}()(){}{}1012T T e eT A d ρξξξ=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰v N N v （1-10）从而获得质量矩阵：[]()()10Te A d ρξξξ=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰M N N （1-11）带入x ξ=，[]2222156225413224133541315622420133224e ll l ll l Al l l l ll l ρ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥---⎣⎦M （1-12） 应变能表达式：(){}[]{}{}()(){}221201''''3011221=2e v K v v N N v ⎛⎫∂== ⎪∂⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰Tz e e T T z e e v U EI d EI d l ξξξξξξ （1-13）刚度矩阵表达式：[]()()1''''30TzEId lξξξ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦⎰e K N N （1-14）带入x ξ=，可以得到[]2232212612664621261266264z l l l l l l EI l l l l ll l -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦e K （1-15） （3） 形成总体方程将每个杆单元的能量方程组装。

完整梁上的的总动能和能量的和所做的总功梁上的外力作用，所有的自由度的位移矢量可以给出：{}{}112233445566Tz z z z z z v v v v v v θθθθθθ=v （1-16）将位移矢量转换为全局坐标系下的位移矢量，变换矩阵为：{}[]{}e e v v =a （1-17）[]1100000000000010000000000001000000000000100000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a []2001000000000000100000000000010000000000001000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a []3000010000000000001000000000000100000000000010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a （1-18） []4000000100000000000010000000000001000000000000100⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a []5000000001000000000000100000000000010000000000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a 分别以矩阵形式给出动能和质量矩阵：{}[][][]{}{}[]{}511122T T Ttot e e e e T ===∑v a M a v v M v （1-19）[]222222222221562254130000022413300000541331205413000133081330000054133120541300013308133000054133120540000133081300000054133120000001330000000005420000M --------------=l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l A l l l l l l l l ρ222220000000000000000001300300054138133413156220133224⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--------l l l l l l ll l l ll [][][][]51Te e e e ==∑M a M a （1-20）因此，总体质量矩阵为总体刚度矩阵：求固有频率。

总应变能{}[][][]{}{}[]{}411122T T Ttote e e e U ===∑v a K a v v K v (1-21) [][][][]51Te e e e ==∑K a K a (1-22)[]3222222222221261260000000064620000000012624012600000062086200000000126240126000000620862000000001262401260000006208600000012600000062000000000000K ---------------=-z EI l l l l l ll l l l l l l l l l l l l l l ll l l l l ll l 2222220024012608621261266264⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-----⎣⎦-⎥l l l l l l l l l l l利用Lagrange 方程，推导简支梁自由振动方程：[]{}[]{}0+=M u K u (1-23)这里，我们假设简支梁做简谐振动，则(){}j tt e ω=u A (1-24)因此，特征方程为：[][](){}0λ-=K M A (1-25)其中，2λω=，ω为固有频率。

（4） 解方程，有限元分析结果基于上述理论,我们获得了采用MATLAB 的有限元分析程序代码。

提交边界条件、材料特性和几何参数到上面的方程, 使用MATLAB 代码我们得到以下结果。

（1）离散简支梁为5单元6节点,那么我们得到的单元质量矩阵和刚度矩阵,如下所示：（2）总质量矩阵和总刚度矩阵如下：[]0.00320.00000.0011-0.0000000000000.00000.00000.0000-0.00000000M =00000.00110.00000.006400.0011-0.0000000000-0.0000-0.000000.00000.0000-0.0000 000000000.00110.00000.006400.0011-0.0000000000-0.0000-0.000000.00000.0000-0.0000000000000.00110.00000.006400.0011-0.000000000-0.0000-0.000000.00000.0000-0.0000000000000.00110.00000.0064 00.0011-0.0000000000-0.0000-0.000000.00000.0000-0.000000000 0000.00110.00000.0032-0.000000000000-0.0000-0.0000-0.00000.0000⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎦[] 0.0032 0.0000 0.0011 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000e 0.0011 0.0000 0.0032 -0.0000-0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]4 2.1875 0.0875 -2.1875 0.0875 0.0875 0.0047 -0.0875 0.00231.010-2.1875 -0.0875 2.1875 -0.0875 0.0875 0.0023 -0.0875 0.0047Ke ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]4 2.1875 0.0875 -2.1875 0.0875 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0875 0.0047 -0.08751.010 K=⨯0.0023 0 0 0 0 0 0 0 0-2.1875 -0.0875 4.3750 0 -2.1875 0.0875 0 0 0 0 0 00.0875 0.0023 0 0.0093 -0.0875 0.0023 0 0 0 0 0 00 0 -2.1875 -0.0875 4.3750 0 -2.1875 0.0875 0 0 0 00 0 0.0875 0.0023 0 0.0093 -0.0875 0.0023 0 0 0 00 0 0 0 -2.1875 -0.0875 4.3750 0 -2.1875 0.0875 0 00 0 0 0 0.0875 0.0023 0 0.0093 -0.0875 0.0023 0 00 0 0 0 0 0 -2.1875 -0.0875 4.3750 0 -2.1875 0.0875 0 0 0 0 0 0 0.0875 0.0023 0 0.0093 -0.0875 0.0023 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.1875 -0.0875 2.1875 -0.0875 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0875 0.0023 -0.0875 0.0047⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3)简支梁的振动分析表1列出了简支梁的五阶固有振动频率。