2016年专项练习题集-定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算
一、选择题
1.dx x )5(122
-⎰=（ ） A.233
B.3
1 C.3
4 D ．83
【分值】5分
【答案】D
【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。

【考查方向】求定积分
【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。

【解析】dx x )5(122-⎰=123153x x -＝83
． 2.直线9y x =与曲线3
y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A 、22
B 、42
C 、2
D 、4
【分值】5分
【答案】D
【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的
函数.
【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积
【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积.
【解析】由
⎩⎨⎧==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4810341299423
03=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰x x dx x x S ，故选D.
3.2
2-⎰2412x x -+dx =（ ）
A.π4
B.π2
C.π
D.π3 【分值】5分
【答案】A
【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型.
【考查方向】求定积分
【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。

【解析】设y=2
4
x-
+,即(x-2)2+y2=16(y≥0).
12x
∵22-⎰2
x-
+dx表示以4为半径的圆的四分之一12x
4
面积.∴22-⎰2
x-
+dx=π4.
12x
4
4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A设定v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B设定在A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后赛车A 追上赛车B所用的时间t(s)为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【分值】5分
【答案】A
【易错点】将问题转化为定积分的理解
【考查方向】本题主要考查了变速直线运动的路程问题。

【解题思路】先表示出变速直线运动物体的速率v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，然后应用“物体从时刻t＝a到t＝b(a<b)所经过的路程为s＝
b v(t)d t”求解定积分问题.
a
【解析】因为赛车A在t秒内行驶
的路程为⎰0t (3t 2＋1)d t ，赛车B 在t 秒内行驶的
路程为⎰0t 10t d t ，所以⎰0
t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪
t
＝t 3＋t －5t 2＝5⇒(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5.
5.如图，阴影部分的面积为( )
A ．9
B ．136
C ．92
D ．73
【分值】5分
【答案】C
【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。

【考查方向】本题主要考查了曲线围成面积的求法。

【解题思路】首先应该根据图形的面积所表达的条件找出被积函数,写出积分形式，以x 为变量设定，被积函数即为y=－x 2－x ＋2,然后求定积分。

【解析】由2
2,y x y x =-⎧⎨=-⎩求得两曲线交点为A(－2，－4)，B(1，－1)．结合图形可知阴影部分的面积为S ＝1
2-⎰[－x 2－(x －2)]d x ＝12
-⎰(－x 2－x ＋2) d x ＝
321
2119
2322x x x -⎛⎫--+= ⎪⎝⎭．所以选C.
二、填空题
6.=+⎰-dx x x 1
13)sin (___________．
【分值】5分
【答案】0
【易错点】微积分基本定理即导数的逆运算的应用。

【解题思路】先将被积函数进行求导的逆运算，然后计算函数值的增量。

【解析】0)cos 41()sin (1
14113=-=+--⎰x x dx x x
7.设f (x )＝
[][]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈e x x e x ,111,0,(e 为自然对数的底数)，则＝________．
【分值】5分
【答案】e
【易错点】应用微积分定理求积分的关键是求被积函数的原函数,注意求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算;当被积函数是分段函数时，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和．
dx x f e )(0⎰
求解。

【解题思路】先将被积函数的各段进行求导的逆运算，然后分别计算函数值的增量。

【解析】
1ln 011101)(0e x e dx x e dx e dx x f e x x +=+=⎰⎰⎰=e-1＋lne ＝e.
8.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.
【分值】5分
【答案】0
【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。

【考查方向】本题主要考查了定积分的几何意义。

0a >y x =
,0x a y ==2a a =
【解题思路】先分清是求曲边图形面积，还是利用曲边图形面积解决其他问题，再正确作出图形，确定积分区间和被积函数，然后根据条件，建立等量关系或方程，进行求解．
【解析】由已知得，所以，
所以. 三、解答题
9.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎰0
1(x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． 【分值】10分
【答案】a ＝6，b ＝0，c ＝－4
【易错点】定积分与导数逆运算的关系
【考查方向】本题主要考查了定积分的运算。

【解题思路】 根据题设条件，列出方程组，求出a ，b ，c .
223023032|32a a x x S a a ====⎰
3221=a 94=a
【解析】由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.①
因为f ′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＝0.② 又因为⎰01f (x )d x ＝⎰0
1(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx |10＝13a ＋12b ＋c ， 所以13a ＋12
b ＋
c ＝－2.③ 联立①②③，解得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.
10.已知两抛物线y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2，以其图像在第一象限的交点为对角顶点恰好能构建一正方形，设两抛物线所围成的图形区域为M ，则某人向该正方形区域内撒一粒黄豆，求黄豆能落在M 内的概率．
【分值】10分
【答案】13
【易错点】注意应用定积分求面积，构建几何概型的几何测度。

【考查方向】本题主要考查了定积分的几何意义及运算，几何概型。

【解题思路】求出两抛物线的交点，画出图象，利用定积分求解．
【解析】函数y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．
由图可知，图形M 的面积S
＝⎰0
1(－x 2＋2x －x 2)dx ＝⎰01(－2x 2＋2x)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23x 3＋x 2⎪⎪⎪10＝13
.
正方形面积为1，有几何概型的概率公式可得黄豆能落在M 内的概率P=31
131。