1 i , 16 zi 3 7i . 48 z3i
z2 z 2 Res [ R ( z ) , 3 i ] 2 ( z 1) ( z 3 i )
5π 1 i 3 7i . (3) I 2 π i 48 12 16
在上半平面内，1+3 i 为一级极点。
z eiz Res[ f ( z ) , 1 3 i ] lim ( z 1 3 i ) 2 z 1 3 i z 2 z 10
ze i z z 1 3i
1 3i 3 i e . 6i z 1 3 i
(2)

π i 4
1 e 4
2 π, ) 2

2 I π. 4
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三、形如


R ( x )e aix d x ( a 0 ) 的积分
P( x) , 其中P (x) , Q(x) 为多项式； 要求 (1) R ( x ) Q( x )
z ai
a
2 2
2 i (a b ) b . Res [ R ( z ) , b i ] lim ( z b i ) R ( z ) 2 2 2 i (b a ) z ai
,
(3) I
π a b . 2 πi 2 2 2 2 (a b) 2 i (a b ) 2 i (b a )
(2)分母 Q(x) 的次数比分子P (x)的至少高一次；
(3)分母 Q(x) 无实零点。 则有
x 如：R( x ) 1 x2


R ( x ) e iax d x 2 π i Res[ R( z ) e i a z , zk ] A iB .
k
其中 z k 是 R( z ) 在上半平面内的孤立奇点。 特别地
R ( x ) cos ax d x A ; R ( x ) sin ax d x B .
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例2 计算



x sin xdx x2 a2
(a 0)
z 解 (1)令 R ( z ) 2 z a2
2 2 (a a b ) 2π i Res f ( z ),0 Res f ( z ), b
2aπ 2π a 2 b 2 2 b b2
2 2 (a a 2 b 2 ). b
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思考题
计算积分
π 2 0
d (a 0). 2 2 a cos
1.应用“围道积分法”计算三类,；
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附：关于第二、三型积分中 R ( z ) 有实孤立奇点的情况
解
(1) 令
f (z)
在上半平面有二级极点 z ai, 一级极点 z bi.
Res[ R( z ), ai ]
1 2 2 2 ( z ai ) ( z b )

z ai
1 2 2 2, 2bi(a b )
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2 2 1 b 3a Res[ R( z ), bi ] 2 3 2 2 2 2 2, ( z a ) ( z bi ) z bi 4a i (b a )
7 i 4
)
1 e 4

π i 4 ,
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3 i 4 Res[ R( z ) , z 2 ] lim ( z e ) R( z ) 3 i ze 4
1 e 4
π i 4 . π i 4
1 (3) I 1 2 π i ( e 4
在上半平面内，a i 为一级极点。
iz iz z e z e (2) Res [ R ( z )e iz , ai ] lim( z ai ) 2 2 z ai z ai z a
ea . z ai 2Fra bibliotek(3)



xe ix dx a π e i 2 2 x a 虚部
( 2a b)π 3 2. 2a b(a b)
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一、形如 R (cos , sin )d 的积分* 0
令ze
i
2π
dz ie d
i
dz d , iz
2 z 1 1 i i sin (e e ) , 2i 2iz 2 1 i z 1 i cos (e e ) , 2 2z
π i 4 ,
z2 e
3π i 4
为两个一级极点。
i 4 (2) Res[ R( z ) , z1 ] lim ( z e ) R( z ) i ze 4
lim
ze 4
z
i
2 5 i 4
(z e
3 i 4
)( z e
)( z e
eiz
z
,
在实轴上，
z 为一阶极点， 0
Res [ f ( z ) , 0 ] e i z
(2)
z0
1.


ei x
x
d x π i R es [ f ( z ) , 0 ] π i ,
ix e sin x π 1 d x Im dx . 2 x 2 x
当 历经变程 [0 , 2π ] 时, z 沿单位圆周 z 1的 正向绕行一周.
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0
2π
R(cos , sin )d
z 2 1 z 2 1 dz R , iz 2 z 2 iz z 1

2
( z 1) dz 2 2 2iz (bz 2az b) z 1
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( z 2 1)2 dz 2 2 2 2 a a b a a b z 1 2 z 2iz b z b b
z2 z 2 z2 z 2 2 解 (1) 令 R ( z ) 4 2 2 ( z 1 ) ( z 9) z 10 z 9
在上半平面内，i 与 3i 为 R ( z ) 一阶极点 。
z2 z 2 (2) Res [ R ( z ) , i ] ( z i ) ( z 2 9)
dx 所以 ( x 2 a 2 )2 ( x 2 b 2 )

2π i{Res [ R( z ), bi ] Res [ R( z ), ai ]}
b2 3a 2 1 2i 3 2 2 2 2 2 2 4a i (b a ) 2bi(b a )
z2 1 z2 1 sin , cos , dz ie i d , 2 zi 2z
0
2π
sin2 d a b cos
( z 2 1)2 4z 2 z 1
2
1 dz 2 z 1 iz a b 2z
(3)


x cos x π 3 d x e (cos 1 3 sin 1) ; 2 3 x 2 x 10
注：

x sin x dx 2 x 2 x 10
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内容小结
应用留数定理计算两类无穷限积分.
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R ( x ) d x 2 π i Res[ R( z ) , zk ] .
k
解 (1)记 I 1 2 I

z , d x , 令 R( z ) 4 4 x 1 z 1
x
2
2
在上半平面内，z1 e
Res f ( z ), zk . f ( z )dz 2π i k 1
n
z 1
计算积分转化为计算在单位圆周内的各孤立奇点 处的留数.
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例1 计算积分 解
0
2π
sin2 d (a b 0) a b cos
令 z e i , 则
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作业
习题五: 13(3)(4)(5)(6)
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例3 计算积分
dx ( x 2 a 2 )2 ( x 2 b2 )

(a 0, b 0, a b)
1 解 R( z ) 2 2 2 2 2 (z a ) (z b )
(3)分母 Q(x) 无实零点。 则有
1 如： R ( x ) 2 x 1
R ( x ) d x

2 π i Res[ R( z ) , zk ] .