全等三角形重难点题型讲练
※题型讲练
【例1】已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE．
求证：AC=BD．
变式训练1：
1．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．
【例2】如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
（1）求证：∠FMC=∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．
变式训练2：
1．如图，在R t△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
【例3】已知：如图，△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O.
(1)求∠BOC的度数；(2)求证：BE+CD=BC．
变式训练3：
1．如图，△ABC中，BD=AC，∠ADC=∠CAD，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．
【例4】如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
※课后练习
1．如图1，在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，EH =EB =3，AE =4，则CH 的长是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．如图2，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB 于F ，DE =DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为( )
A ．11
B ．5.5
C ．7
D ．3.5
图1 图2
3
4．如图4，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为 ．
图3 图4
5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ，交AD 于G ，求证：AD ⊥EF
6．已知：点O 到△ABC
的两边
AB ，
AC 所在直线的距离相等，且OB =OC ．
（1）如图1，若点O 在边BC 上，求证：AB =
AC
；
（2）如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：AB =AC ；
（3）若点O 在△ABC 的外部，AB =AC 成立吗？请画出图表示．
B
7．已知：△ADE中，AE=AD，∠EAD=90°．
（1）如图（1），若EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．求证：AB=AC；
（2）△ADE的位置保持不变，将（1）中的△ABC绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，CD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的位置关系及数量关系，并说明理由；
8．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF 求证：BE+CF＞EF．
9．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？。