的概率 . 4 解：以 D 表示半圆 0 y
2ax x2 ，由题设，点（ x, y) 应该落在如图的阴影部
分 G，G的面积为（在极坐标系中计算）
S(G)
2 a cos
4d
rdr
0
0
1 4
2 2 a cos
r0
d
02
2a 2 4 cos 2 d 0
a 2 4 (1 cos2 )d 0
1 a2 42
（或 G的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上 1 个圆的面积） 4
y
D G
x
故 P( A) S(G) S(D)
1 a2 42
1 a2 2
11 2
6. 设 0 P( A) 1， 0 P( B) 1，证明： A、 B 独立 P( A | B) P( A | B) 1 .
证明： P( A | B) P( A | B) 1 P( A | B) 1 P( A | B) P( A B)
（1）由全概率公式
PB
2
P B Ai p Ai
i0
0.8
1
0.1
C149
C
4 20
0.1
C148
C
4 20
0.94
（2）由贝叶斯公式
P( A0 B)
P( B A0 ) P( A0 ) P(B)
0.85
2. 设有两箱同类零件，第一箱内装有 50 件，其中 10 件是一等品；第二箱内 装有 30 件，其中 18 件是一等品， 现从两箱中任意挑出一箱， 然后从该箱中依次 随机地取出两个零件（取出的零件不放回） ，试求
（1）第一次取出的零件是一等品的概率； （2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等 品的概率 .
解 设 Ai (i 0,1,2,) 表示从第 i 箱中取得的是一等品（取出的零件不放回） ， B
表示从第一箱中取零件， B 表示从第二箱中取零件
（1）由全概率公式
10 1 18 1
P ( A1) P( A1 B ) P( B ) P( A1 B) P( B)
0.4
50 2 30 2
（2）由全概率公式
10 9 1 18 17 1 P ( A1A2 ) P ( A1A2 B) P( B) P ( A1 A2 B ) P( B )
50 49 2 30 29 2 因此有
P( A2 A1 )
击浇的概率 .
解：设 A1, A2, A3 分别表示甲、乙、丙击中飞机， Bi 表示有 i (i 1,2,3) 个人击
中飞机
P(B1 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.36
P( A1 A2 ) P( A1)
5 10 9 1 18 17 1
(
) 0.4856
2 50 49 2 30 29 2
3. 某电子元件在每一次试验中发生故障的概率为 0.3 ，当故障发生不少于 3
次时，指示灯发出信号 （1）进行了 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；
（2）进行了 7 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率 . 解（ 1）进行了 5 次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为
例题
1. 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，各箱次品数为 0,1,2 只的概率分别为 0.8,0.1,0.1, 一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱， 顾客开箱后随机取 4 只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？ （2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？
解 设 Ai (i 0,1,2,) 表示箱中有 i 件次品， B 表示顾客买下该箱玻璃杯
P( AB) P( AB) P(B) 1 P( B)
P( AB) P(B) P( AB) P(B)P( AB)
P( AB) P( B)[ P( AB) P( AB)] P( B) P( A) A、B 独立
7. 要验收一批 100 件的乐器 , 验收方案如下 : 自该批乐器中随机地取 3 件测 试（设 3 件乐器的测试是相互独立的） ，如果 3 件中至少有一件被认为音色不纯， 则这批乐器就被拒绝接收， 设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概 率为 0.95 ，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 0.01 ，如果已知 这 100 件乐器中恰好有 4 件是音色不纯的， 试问这批乐器被接收的概率是多少？
P(B2 ) P( A1A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3)
P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.41 P(B3 ) P( A1A2 A3 )
C530.33 0.72
C
4 5
0.34
0.7
0.35
0.163
（2）进行了 7 次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为
1 0.77
C710.3 0.76
C
2 7ห้องสมุดไป่ตู้
0.3
2
0.75
0.353
4. 甲、乙、丙 3 人同向一飞机射击， 设击中飞机的概率分别为 0.4,0.5,0.7 ，
如果只有 1 人击中飞机，则飞机被击落的概率是 0.2 ；如果有 2 人击中飞机，则 飞机被击落的概率是 0.6 ；如果 3 人都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被
P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) 0.4 0.5 0.7 0.14 由全概率公式
P(B) P( B1 )P( B B1) P(B2 )P( B B2 ) P(B3 )P(B B3 ) 0.36 0.2 0.41 0.6 0.14 1 0.458
5. 随机地向半圆 0 y 2ax x2 （ a 为正常数） 内扔一个点， 点落在半圆内 任何区域内的概率与区域的面积成正比， 求原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于
解：设 Bi ={ 随机地取 3 件乐器，其中有 i 件是音色不纯的 } （ i 0,1,2,3 ）
A={这批乐器被接收 } P ( A B0 ) ( 0.99) 3 ， P( A B1 ) (0.99) 2 0.05 ， P( A B2 ) 0.99 (0.05) 2