第一章1. 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。

解：设Ai={取到第i 个箱子}，i=1,2，Bj={第j 次取到一等品}，j=1,2 （1）由全概率公式52301821501021)()()()()(2121111=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P （2）所求概率为)()()(12112B P B B P B B P =，其中1942.02930171821495091021)()()()()(2212121121=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=A B B P A P A B B P A P B B P 故：4856.0521942.0)()()(12112≈==B P B B P B B P2. 某段时间[t 0,t 0+t]内，t>0，证券交易所来了k 个股民的概率为tek k t λλ-!)(，k=0,1,2……，λ >0，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p ，且各股民是否购买这种股票相互独立。

（1）求此段时间内，交易所共有r 个股民购买长虹股票的概率；（2）若已知这段时间内有r 个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m 个股民的概率。

解：设A k ={交易所来了k 个股民}，k=0,1,2,……，B={有r 个股民购买长虹股票}。

（1）由于......2,1,0,!)()(==-k e k t A P tk k λλ，,1.....2,1,0,0)(-==r k A B P k......1,,)1()(+=-=-r r k p p C A B P r k r r k k故由全概率公式可得tpr rk rrk r kk k k e r tp t e k k t p p C A B P A P B P λλλλ--∞=∞==--==∑∑!)(!)()1()()()(0（2）由Bayes 公式得所求概率为,......1,,)!()]1([)()()()()1(+=--==---r r m e r m p t B P A B P A P B A P p t r m m m m λλ显然，1,......1,0,0)(-==r m B A P m3. 设一射手每次命中目标的概率为p ，现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射手共射击了10次的概率为（A ）55510)1(p p C - （B ）5549)1(p p C - （C ）54410)1(p p C -（D ）5449)1(p p C -解：B4. 设有三个事件A,B,C ，其中P(B)>0,P(C)>0，且事件B 与事件C 相互独立，证明：)()|()()|()|(C P C B A P C P BC A P B A P +=分析：利用关系式)()(C AB ABC AB ⋃=证明：由于事件B 和事件C 相互独立，故事件B 和事件C 相互独立，又因为 )()()(C AB ABC C C AB AB AB ⋃=⋃=Ω= 所以)()()(C AB P ABC P AB P += )()()|()()()|()()|()()|(C P B P C B A P C P B P BC A P C B P C B A P BC P BC A P +=+=从而有)()()|(B P AB P B A P =)()|()()|(C P C B A P C P BC A P +=第二章1. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂。

现该厂生产了)2(≥n n 台仪器，假设各台仪器的生产过程相互独立，试求： （1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两件不能出厂的概率β； （3）其中至少有两件不能出厂的概率θ。

解：设A={一台仪器能出厂}，B={一台仪器能直接出厂}，C={一台仪器经调试能出厂}，则C B B A +=，且B 与C B 显然互不相容。

于是94.08.0*3.07.0)()()()()()(=+=+=+=B C P B P B P C B P B P A P令X 表示n 台仪器中能出厂的台数，则有X ～B(n,0.94)。

故 （1）;94.0)(nn X P ===α（2）22206.094.0)2(--=-==n n n C n X P β（3）由于至少有两件不能出厂等价于至多有n-2件能出厂，故n n n n X P n X P n X P 94.094.006.01)()1(1)2(1-⨯⨯-==--=-=-≤=-θ2. 假设随机变量X 的绝对值不大于1，11(1),(1),84P X P X =-=== 在事件(11)X -<<出现的条件下，X 在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求：（1） X 的分布函数()F x ； （2） X 的取负值的概率p解： 由条件知，当1x <-时 1()0,(1)8F x F =-= 115(11)1.848P X -<<=--=又 1(1|11)2x P X x X +-<≤-<<=于是，当11x -<<时()(1)(1)F x P X P X x =≤-+-<≤1(1,11)81(11)(1|11)81518825716P X x X P X P X x X x x =+-<≤-<<=+-<<-<≤-<<+=+⨯+=当1x ≥ ，时，()1,F x =故0,1,57,11,16161, 1.(){x x x x F x <-+-≤<≥=（2） 7(0)(00)(0).16p P X F F =<=-==3. 假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为15的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2个小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()Y F y解： 由题意得，{}min ,2,Y X =于是{}{}()()(min ,2)1(min ,2)1(,2)Y F y P Y y P X y P X y P X y y =≤=≤=->=->>又X 的分布函数是参数的15的指数分布，即其分布函数为151,00.(){xe x X F x -->=其它因此，当2y ≥时，(,2)0P X y y >>=，即 ()Y F y = 1；当2y <时，(,2)()P X y y P X y >>=>，即()1()Y F y P X y =->151,00,0(){ye y y P X y -->≤=≤=故151,21,020,0(){yy e y Y y F y -≥-<<≤=4. 设随机变量X 的概率密度为[]2/31,1,8,30,(){x x f x ∈=其他()F x 是X 的分布函数，试求随机变量Y = ()F X 的分布函数解：()Y F X =的分布函数为 ()()(()).Y F y P Y y P F X y =≤=≤ 注意到()F x 为分布函数，于是有0()1F x ≤≤，因此， 当0y <时，()Y F y 0=； 当1y ≥时，()Y F y 1=；当01y ≤<时，由于()F x 为单调增加函数，从而存在反函数，故1()(())(())Y F y P F X y P X F y -=≤=≤1(()).F F y y -== （1F -表示F 的反函数）即 Y 的分布函数为：0,0,01,1, 1.(){y y y Y y F y <≤<≥=第三章1. 设（X ，Y ）的联合密度为,01,0 1.Cxy x y <<<<(,)f x y =0，其他 试求：（1）常数C ； （2）P （X=Y ）； （3）P （X ＜ Y ）。

解： （1） 由(,)1,f x y dxdy ∞+∞∞-∞=⎰⎰得 C = 4 。

（2） 由于x=y 为平面上的一条直线，而二维连续型随机变量在平面上任何一条曲线上取得的概率均为零，故 P （X = Y ）= 0；（3） P (X ＜ Y ) = (,)x yf x y dxdy <⎰⎰=4D xydxdy ⎰⎰=1(4)y xydx dy ⎰⎰=1312.2y dy =⎰ 2. 设连续型随机变量X ，Y 相互独立且服从同一分布，证明 P (X ≤ Y)=12. 证明： 不妨设X ，Y 的密度函数为(),()f x f y ，于是由X 与Y 相互独立得（X ，Y ）的联合密度为 (,)()().f x y f x f y =于是 P (X ≤ Y) =()().x yf x f y dxdy ≤⎰⎰由于被积函数()()f x f y 关于,x y 对称，故()()()()x yy x f x f y dxdy f y f x dxdy ≤≤=⎰⎰⎰⎰但()()()()x yy xf x f y dxdy f y f x dxdy ≤≤+⎰⎰⎰⎰2()()1,R f x f y dxdy ==⎰⎰其中2R 表示整个平面，所以1()(),2x yf x f y dxdy ≤=⎰⎰即P (X ≤ Y)=12.3. 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，现在从10件产品中无放回地抽取3件，令X 表示其中一等品数，Y 表示其中二等品数，试求： （1） （X ，Y ）的联合分布律（2） （X ，Y ）关于X 和Y 的边缘分布律 （3） X 和Y 是否相互独立？（4） 在X=1 的条件下Y 的条件分布。

分析： 由题意知X 的可能取值为0，1，2；Y 的可能取值为0，1，2，3。

因此用古典概型分别计算它们的概率即可 解： （1）因为当23(,)0.i j i j P X i Y j +<+>===或时，有而当3327101023/.i j i j i j C C C C --≤+≤时，P(X=i,Y=j)=分别将0i =时，j=2,3;i=1时，j=1,2;i=2时，j=0,1代入计算可得（X ，Y ）的联合分布律如下表（2）由联合分布律易得两个边缘分布律为（3）因为P （X=1，Y=0）=0，但 P （X=1）=715，P （Y=0）=1120， 故P （X=1，Y=0）≠P （X=1）P （Y=0）。