2018年高考试卷数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚． 4．做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为样本平均数; 柱体体积公式 Sh V =其中S 为底面面积,h 为高锥体体积公式Sh V 31=其中S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式24R S π= ，334R V π=其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.每小题都有四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设a ∈R ，若2i i a -()（i 为虚数单位）为正实数，则a =A ．2B ．1C ．0D ．1-2．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙： 直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．曲线sin y x =，cos y x =与直线0x =，2x π=所围成的平面区域的面积为A ．20(sin cos )x x dx π-⎰B ．402(sin cos )x x dx π-⎰C ．20(cos sin )x x dx π-⎰D ．402(cos sin )x x dx π-⎰4．下列向量中与向量)3,2(-=a 平行的是A ．（-4，6）B ．（4，6）C ．（-3，2）D ．（3，2） 5．函数)1lg()(2x x x f +=是A ．奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 6．设函数)(x f y =在区间),0(+∞内是减函数，则)6(sinπf a =，)4(sin πf b =，)3(sin πf c =的大小关系是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 7．设n S 为等差数列｛n a ｝的前n 项和，且1073=+a a ，则=9SA ．45B ．50C ．55D ．90 8．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是 A ．20% B ．25% C ．6% D ．80% 9．将函数x y sin =的图像按向量)1,1(=平移得到的图像对应的一个函数解析式是A ．)1sin(1++-=x yB ．)1sin(1++=x yC ．)1sin(1-+-=x y_40 50 60 70 80 90 100D ．)1sin(1-+=x y10．设1a ，2a ，…，n a 是1，2，…，n 的一个排列，把排在i a 的左边．．且比i a 小．的数的个数称为i a 的顺序数（12i n =，，，）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为 A ．48 B ．96 C ．144D ．192第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 11．命题“x R ∀∈，sin 1x ≥-”的否定是 .12．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组),(y x 依次记为),(11y x ，),(22y x ，，(,)n n x y ,，则程序运行结束时输出的最后一个数组为 .13．曲线2ln y x x =-在点（1，2）处的切线方程是 ．14．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥-,083,03,02y x y x y x 则3x －y 的最小值是________.15．定义：我们把阶乘的定义引申，定义)4)(2(!!--=n n n n ，若n 为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!! = 0。

我们称之为双阶乘(Double Factorial)n 对夫妇任意地排成一列，则每 位丈夫都排在他的妻子后面的概率是________.（结果用含双 阶乘的形式表示）三、解答题（本大题有6小题，共74分） 16．（本题满分13分）某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可结束输出(x ，y ) 是 开始 x ←1, y ←0, n ←1n ＞ 8否n ← n ＋2 第11x ← 3xy ← y －2第11题图能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；17．（本题满分13分）如图5，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，AB AC AE ==．（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值．18．（本题满分13分）一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一 圆弧，AB ，DC 分别与圆弧BC 相切于B ，C 两点，EF ∥AB ，GH ∥CD ，且 两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m ．（1）若水平放置的木棒MN 的两个端点,M N 分别在外壁CD 和AB 上，且木棒与内 壁圆弧相切于点P ．设(rad)CMN θ∠=，试用θ表示木棒MN 的长度()f θ； （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．19．（本题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的某个焦点为F ，双曲线1:2222=-b y a x G )0,(>b a 的某个焦点为F ．（1）请在 上补充条件，使得椭圆的方程为1322=+y x ； 友情提示：不可以补充形如1,3==b a 之类的条件。

（2）命题一：“已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，定点),(n m P 满足022>-pm n ，以PF 为直径的圆交y 轴于A 、B ，则直线P A 、PB 与抛物线相切”．命题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线)0(22>=p px y ，定点P ，以PF 为直NE D C A B径的圆交y 轴于A 、B ，P A 、PB 与抛物线相切．试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C 和双曲线G 的类似正确的命题； （3）证明命题一的正确性． 20．（本题满分14分）已知函数2()ln (0,1)xf x a x x a a a =+->≠.（Ⅰ）当1a >时，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （Ⅱ）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；（Ⅲ）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换求矩阵21 30A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量. (2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程：12x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和圆C 的位置关系．(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲已知函数()12f x x x . 若不等式()abab a f x ≥(0,,)aa b R 恒成立，求实数x 的范围.2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科试题试题参考解答及评分标准说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题，当考生的解答 某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算．1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．D 7．A 8．D 9．D 10．C二、本大题共4个小题；每小题5分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算． 11．x R ∃∈,sin 1x <- 12．(27,6)- 13．01=--x y 14．7 15．)!2(!)!12(!n n n -【15题解析】(理解一)排列的总数是)!2(n .为了计算有利场合的个数，可以这样考虑.首先把n 个丈夫进行排列，共有!n 种可能.然后让排在第一的那位丈夫的妻子插人队伍，她显然只有1种可能的位置，即排在最前面，接着让排在第二位的丈夫的妻子进人队伍.现在她的丈夫之前已有两人，因此她有3种位置可选择.排在第三位的丈夫的妻子进人队伍有5种位置可选择，依次下去，最后一位丈夫的妻子有)12(-n 个位置可选择.因此有利场合总数是!)!12(!)12(31!-=-⋅⋅n n n n ，所以要求的概率是)!2(!)!12(!n n n -。