单元综合测试二(第二章综合测试)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1．抛物线y ＝x 2的准线方程是( )A ．4y ＋1＝0B ．4x ＋1＝0C ．2y ＋1＝0D ．2x ＋1＝0【答案】 A【解析】 p ＝12，准线方程为y ＝－p 2＝－14，即4y ＋1＝0. 2．设k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线 【答案】 C【解析】 ∵k >1，方程可化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1.表示实轴在y 轴上的双曲线． 3．下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1【答案】 B【解析】 双曲线x 24－y 22＝1的离心率e ＝4＋22＝62.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B 等于( )A.45B.52C.54D.53【答案】 C【解析】 椭圆x 225＋y 29＝1中，长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，半焦距c ＝4，sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA AC ＝2a 2c ＝54.5．椭圆a 2x 2－a2y 2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a 等于( ) A.1－34 B.1－54 C.－1±34 D.－1±54【答案】 B【解析】 椭圆a 2x 2－a 2y 2＝1可化为x 21a 2＋y2－2a＝1，∴a <0，排除C 、D.当a ＝1－54时，1a 2＝6＋25，－2a ＝2(5＋1)， ∴6＋25－25－2＝4，∴一个焦点是(－2,0)．6．(2013·重庆文)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(233，2] B ．[233，2) C ．(233，＋∞) D ．[233，＋∞)【答案】 A【解析】 由条件知b a >tan30°或ba ≤tan60°此时e >233或e ≤2，所以离心率取值范围是(233，2]． 7．抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A ．(32，54) B ．(1,1) C ．(32，94) D ．(2,4)【答案】 B【解析】 设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝(x －1)2＋35，所以当x ＝1时，d 取最小值355，此时P 为(1,1)．8．(2014·江西文)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 【答案】 A【解析】 本题主要考查双曲线的性质及其与圆结合形成的几何关系．如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝ba x (也可设为y ＝－ba x )，由题意知，以F 的半径的圆过点O ，A ， ∴|F A |＝|FO |＝r ＝4.∵AB ⊥x 轴，A 为AB 与渐近线y ＝ba x 的交点， ∴可求得A 点坐标为A (a ，b )．∴在Rt △ABO 中，|OA |2＝OB 2＋AB 2＝a 2＋b 2＝c ＝|OF |＝4， ∴在△OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得|OB |＝a ＝2，|AB |＝b ＝23，∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.9．(2013·全国卷大纲文)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D ．2【答案】 D【解析】 抛物线y 2＝8x 焦点坐标为(2,0)，直线方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝k (x －2)，得k 2(x －2)2＝8x ，即k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1＋2，y 1－2)，MB →＝(x 2＋2，y 2－2)，由MA →·MB →＝0得 (x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 将y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2.x 1·x 2＝4代入上式中，整理得(k －2)2＝0，∴k ＝2.10．连接双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a 2＝1的四个顶点构成的四边形的面积为S 1，连接它们的四个焦点构成的四边形的面积为S 2，则S 1 S 2的最大值是( )A ．2B ．1 C.12 D.14【答案】 C【解析】 x 轴上的两个顶点为(a,0)，(－a,0)， y 轴上的两个顶点为(0，b )，(0，－b )． 这四个顶点构成的四边形为菱形， 面积S 1＝12·2a ·2b ＝2ab ， 焦点分别为(±c,0)，(0，±c )， 则四个焦点构成的四边形为正方形，面积S 2＝12·2c ·2c ＝2c 2.∴S 1 S 2＝ab c 2≤a 2＋b 22c 2＝12.当且仅当a ＝b 时，等号成立，故选C.11．(2013·浙江文)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62【答案】 D【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，离心率e ＝ca ，由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝4，①由双曲线的定义得|AF 2|－|AF 1|＝2a ，②将①②两边分别平方相加后得2(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16＋4a 2，而四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝12代入上式得a 2＝2，a ＝2，所以e ＝32＝62，选D. 注意椭圆、双曲线的定义在解题过程中的应用．12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(14，49)B ．(23，1) C ．(12，23) D ．(0，12)【答案】 C【解析】 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标为(c ，±b 2a )，又k ∈(13，12)，∴B (c ，b 2a )．斜率k ＝b 2a c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23.二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．【答案】 12【解析】 ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2. 又AC ＋CB ＝5＋3＝8＝2a ，∴a ＝4. 即椭圆的离心率为c a ＝12.14．(2013·天津文)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．[答案] x 2－y 23＝1[解析] 抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c ＝2，离心率e ＝ca ＝2.a ＝1，由a 2＋b 2＝c 2得b 2＝3，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.15．抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，每隔4米用一支柱支撑，其中最长支柱的长是________．【答案】 3.84 米【解析】 如图，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线方程为：x 2＝－2py (p >0)， 点A (10，－4)在抛物线上， ∴100＝8p ，p ＝252，∴x 2＝－25y ，其中最长一根长柱与抛物线的交点为B (x 0，y 0)， 由题意知x 0＝2，∴y 0＝－425，∴最长的支柱长为4－425＝9625＝3.84(米)．16．(2014·山东文)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．【答案】 y ＝±x【解析】 本题考查双曲线、抛物线的几何性质及坐标运算． 如图所示．由题意知A (a,0)，F (0，p 2)，∵|AF |＝c ，∴a 2＋p24＝c 2 又c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝p24联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2x 2a 2－y 2b 2＝1得x 2＝2a 2，∴x ＝±2a ，即2c ＝22a . ∴c ＝2a ，又c 2＝a 2＋b 2 即c 2＝2a 2＝a 2＋b 2，∴a ＝b 故所求渐近线方程为y ＝±x . 三、解答题(共74分)17．(本题满分12分)求以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线方程．【解析】 椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)， 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14，∴a 2＝8，b 2＝2，即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.18．(本题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．若点P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→的最大值和最小值．【解析】 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝14(3x 2－8)．由于x ∈[－2,2]，故当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→·PF 2→有最小值－2；当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1.19．(本题满分12分)如图所示，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．【解析】 由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3， ∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 又k ＝tan45°＝1，∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1，消去x ，整理得25y 2－187y －81＝0， ∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(18725)2＋4×8125＝7225 2.∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2| ＝12×27×7225 2 ＝722514.20．(本题满分12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点．(1)写出C 的方程； (2)若OA→⊥OB →，求k 的值． 【解析】 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.若OA →⊥OB →，则x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.21．(本题满分13分)(2014·辽宁文)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y ＝x ＋3交于A ，B 两点，若△P AB 的面积为2，求C 的标准方程．【解析】 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4. 此时，两坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0，知当且仅当x 0＝y 0＝2时，x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知2a 2＋2b 2＝1，并由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1y ＝x ＋3得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0， 又x 1，x 2是方程的根，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43b 2x 1x 2＝6－2b 2b2，由y 1＝x 1＋3，y 2＝x 2＋3得 |AB |＝2|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b 4b 2. 由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB ＝12·32|AB |＝2得b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，∴b 2＝6，a 2＝3(舍去)或b 2＝3，a 2＝6， 从而C 的方程为x 26＋y 23＝1.22．(本题满分13分)(2013·浙江文)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．【解析】 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)得p2＝1， 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎨⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N | ＝2|84－x 1－84－x 2|＝82|x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16|＝82k 2＋1|4k －3|令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34. 当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t ＋1>2 2.当t <0时， |MN |＝22(5t ＋35)2＋1625≥825.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是825.。