2．推理规则 （1）P 规则（前提引入规则）
在推导过程中，前提可视需要引入使用。前提可 以用在证明中的任何步骤上。
（2）T规则 （结论引入规则）
在推导过程中，利用推理定律可引入前面已导出 结论的有效结论。
3. CP规则 (附加前提规则)
（1）欲证： 前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB （3）理由： (A1A2…Ak)(CB) （2）等价地证明 前提: A1, A2, …, Ak, C
假言推理
拒取式 析取三段论
(AB)(BC) (AC)
(AB)(BC) (AC) (AB)(CD)(AC) (BD) (AB)(AB)(AA)B
假言三段论
等价三段论 构造性二难 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
析取三段论
A B
B
A
构造性二难：
AB CD AC BD
合取引入： A B A B
破坏性二难： AB CD BD AC
（1）推理定律——重言蕴涵式
A (AB) (AB) A 附加律 化简律
(AB)A B
(AB)B A (AB)B A
3．判断推理是否有效的方法（多种） （1）真值表法 （2）等值演算法 （3）主析取范式法
例 判断下面推理是否正确? （1）若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以明天是5号. （2）若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号. 解 设p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构采用（2）.
第三章 小 结 一、本章的主要内容及要求 1．主要内容 推理的形式结构的不同形式 判断推理是否正确的不同方法 ① 真值表法 ② 等值演算法
③ 主析取范式法
④ 形式证明…
2. 要求

理解并记住推理形式结构的如下形式：
① (A1A2…Ak)B
② 前提：A1, A2, … , Ak
结论：B

熟练掌握判断推理是否有效的不同方法（如真 值表法、等值演算法、主析取范式法等） 牢记P系统中各条推理规则（内容与名称）
P P
③ r
④ (p q ) r
T①②拒取式
P
⑤ (p q )
T ③④拒取式
例 构造下面推理的证明： 2是素数或合数. 若2是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是 素数，则2是合数. 用附加前提证明法构造证明 （1）设p：2是素数，q：2是合数，
练习： 3.如果乐队不能演奏摇滚乐或者点心没有 准时送上来，那么新年音乐会就将取消， 并且玛丽会很生气。如果音乐会取消， 那么就要办理退款。没有办理退款。所 以乐队能演奏摇滚乐。
练习： 证明： (1)pq，(qr)r，(ps)s (2) (pq) (qr) p
前提：A1, A2, … , Ak
结论：B
（2）将B当前提，推出矛盾，得证（1）正确 （3）理由： A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为 重言式
例 前提： (pq)r, rs, s, p 结论：q
r： 2 是无理数， s：4是素数
（2）形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
（3）证明 ①s ② p r ③ rs ④ ps ⑤ p CP P P T②③假言三段论 T①④拒取式
⑥ p q
⑦q
P
T⑤⑥析取三段论
请用直接证明法证明之
4．归谬法（或称反证法）
（1）欲证 A1A2…AkB
P T (1)蕴含等值式 P T(2) (3) 假言三段论 T(4) 假言异位 P T(5)(6)假言三段论 T(7) 蕴含等值式
例：前提：pq,q(rs),r(t u), pt
结论：u (1)pq
(2)q(rs) (3)p(rs) (4)pt (5)p (6) (rs)
((pq)q)p
(pq)qp
((pq)(qq))p
p q 易知10是成假赋值，故()不是重言式，所以推理不正确.
方法二 主析取范式法 经过演算后可知 () m0m1m3 未含m2, 故()不是重言式.
方法三 真值表法，()的真值表为
p q 0 0 1 1 0 1 0 1 (pq)qp 1 1 0 1
结论（不正确）是对的 方法四 直接观察出10是成假赋值
解（2）答案：推理正确
方法一 真值表法（自己做）
方法二 等值演算法（自己做） 方法三 主析取范式法（自己做）
方法四 P系统中构造证明
证明：（直接证明法）
① pr （前提引入）
T③⑥析取三段论
T⑦附加
② rp ③ qr ④ qp （①置换） （前提引入） （③②假言三段论） 请用附加前 提证明法证 明之
2．在P系统中构造下面推理的证明： 如果今天是周六，我们就到颐和园或圆明 园玩. 如果颐和园游人太多，就不去颐和 园. 今天是周六，并且颐和园游人太多. 所 以我们去圆明园或动物园玩.
结论： B
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
（1） pq （ 2） p q （ 3） q s （4） p s （ 5） s p （6） pr （7） s r （8） sr
三、构造证明 1．P规则（前提引入规则） 例：前提: (pq) , (pr) ,(qs) ； 结论: sr
若明天是星期一或星期三，我就有课。 若有 课，今天必备课。我今天下午没备课. 所以， 说明天是星期一或星期三是不对的。
构造证明（ 1 ）设 p ：明天是星期一， q ：明天 是星期三，r：我有课，s：我备课 （2）形式结构：
前提：(pq)r, rs, s
结论：(p用归缪法）
①q
② rs
结论否定引入
P
③ s
④ r ⑤ (pq)r ⑥ (pq)
P
T②③拒取式 P T④⑤析取三段论 T⑥置换 T①⑦析取三段论 P
请用直接证明法证 明之
⑦ pq ⑧ p ⑨p
⑩ pp
T⑧⑨合取
练习： 1.证明：(pr),qs ,p,q r∧s 2.在自然推理系统中构造下面推理的证明： 若小张喜欢数学，则小李或小赵也喜欢 数学。若小李喜欢数学，他也喜欢物理。 小张确实喜欢数学，可小李不喜欢物理， 所以小赵喜欢数学。
会用附加前提证明法及归谬法

二、练习
1．用不同的方法验证下面推理是否正确. 对于 正确的推理还要在P系统中给出证明.
（1）前提：pq, q 结论：p
（2）前提：qr, pr
结论：qp
解（ 1 ）答案：不正确。验证答案，需将推理形式结 构改为另一种形式 (pq)qp () 只需证明()不是重言式 方法一 等值演算 (pq)qp
P P T(1)(2)假言三段论 P T(4)化简律 T(5)(3)假言三段论
(7)r
(8) r(t u)
T(6)化简律
P
(9) (rt) u
(10) t
T(8)
T(4)化简律
(11) rt
(12) u
T(7) (10)合取
T(9) (11)析取三段论
例 用直接证明法构造下面推理的证明：
第1.5节 推理理论
本章的主要内容


推理的形式结构
形式证明
1 推理的形式结构 一、何为推理？
1．例 （1）若今天是星期一，则明天是星期二 （2）若ACBD，则AB且CD 2．推理——从前提出发推出结论的思维过程
上例中，（1）是有效的推理，而（2）是无效的 推理.
二、推理的形式结构及证明方法
（4）形式证明
形式证明的推理过程是一个命题序列，其中每个命题 或者是已知命题，或者是由某个前提根据推理规则推 出的结论，序列的最后一个命题是需要论证的结论。
1 推理定律
假言推理
AB A B
附加律
A AB
化简律 AB A
假言三段论
A B B C A C
拒取式 AB B A
（1）设 p：今天是周六， q：到颐和园玩， r：到圆明园玩， s：颐和园游人太多
（3）证明：
① p (q r) ②p ③ q r ④ sq P P T①②假言推理 P
t：到动物园玩
（2）前提：
⑤s
⑥ q
P
T ④⑤假言推理
p(qr), sq, p, s
结论：rt
⑦r
⑧ r t
1．推理的有效性 定义1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式
由前提A1, A2, …, Ak 推出结论B的推理形式表示为 （1）A1A2…AkB （符号表示推出） （2）前提： A1, A2, … , Ak 结论： B
2．推理的形式结构（多种形式）
定义2 若对于每组赋值，或者A1A2… Ak 均为假，或者当 A1A2…Ak 为真时， B 也为 真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出B的推理是 有效的（正确），并称B是一组前提A1, A2, …, Ak 的有效结论；否则称推理是无效的（错误 的）。 定理1 命题公式A1, A2, …, Ak 推出B的推理 是有效的当且仅当 A1A2…AkB为重言式
（1）(pq)pq
（2）(pq)qp
证明（1）（用等值演算法） (pq)pq ((pq)p)q pqq 1 由定理1可知推理正确
证明：（2）（用主析取范式法） (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p q p (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值,所以推理不正确