【例1】 证明推理"所有的自然数均是实数，3是自 然数，因此，3是实数。"正确。
解 设N（x）：x是自然数，R（x）：x是实数，则 推理形式化为：
x（N（x）→R（x））, N（3） R（3）
下面进行证明。
（1） x（N（x）→R（x）） 前提引入
（2）N（3）→R（3）
（1）UI
（3）N（3）
前提引入
（4）R（3）
（2）（3）假言推理
【例2】 构造下面推理的证明： 前提 x（F（x）→（G（x）∧H（x）））， x（F（x）∧P（x）） 结论 x（P（x）∧H（x））
解 （1） x（F（x）→（G（x）∧H（x））） 前提引入
（2） x（F（x）∧P（x））
前提引入
（3）F（c）∧P（c）
x( M(x) ∨F(x) ∨ G(x) ) Demorgen定律
x( M(x) ∨ G(x) ∨F(x) ) 交换律
x( （M(x) ∧ G(x)） ∨F(x) ) Demorgen定律
x(（M(x) ∧ G(x))→ F(x) )
(M(t) ∧ G(t))→ F(t) UI规则（t自由变量）
过教育的人。因此有些受过教育的人是守信用的。 设：M(x)：x是人，F(x)：x守信用，G(x)：x可信赖，
H(x)：x受过教育。 前提： x(M(x) ∧ F(x) ∧G(x) )， x(M(x) ∧ G(x) ∧H(x) ) 结论：x(M(x) ∧ H(x) ∧F(x) )
证明：x(M(x) ∧ F(x) ∧G(x) ) 前提
【例3】 设前提为 x yF（x，y），下面 推理是否正确？
（1） x yF（x，y） 前提引入
（2） yF（t，y）
（1）UI
（3）F（t，c）
（2）EI
（4） xF（x，c）
（3）UG
（5） yxF（x，y） （4）EG
解 x yF（x，y）y xF（x，y）的推 理并不正确。取与前面例题相同的解释，则由 x yF（x，y）为真，而y xF（x，y）意为 “存在着最小实数”，是假命题，知推理不正确。 之所以出现这样的错误，是第（3）步违反了 EI规则成立的条件（2）， 因为这里的t与c是 有关的。
全称量词消去规则（简称UI规则） Universal Instantiation (UI)
xA( x) A(t )
规则成立的条件： （1）t是任意个体变项或常项。 （2）A（t）中其它约束变元个数与A（x）
中x以外的约束变元个数相同。
全称量词引入规则（简称UG规则）
Universal Generalization (UG)
（5）G（t）
（3）（4）假言推理
（6） xG（x）
（5）UG
（7）xF（x）→ xG（x）
例5 指出下面推理的错误.
证明
（1） xP(x) xQ(x)
前提
（2）
（3） （4） 错！ （5） （6） （7）
xP(x)
xQ(x) P(c) Q(c) P(c) Q(c) x(P(x) Q(x))
因为D(7，5)和D(11,5)为假，所以 xD(x,5)为假.
分析有下面的推理过程：
(1) xD(x,5)
前提
(2) D(z,5)
(1);ES
错！ (3) xD(x,5)
(2);UG
因此， xD(x,5) xD(x,5).
【例7】在谓词逻辑推理系统中构造下面推理的证明： 没有不守信用的人是可以信赖的。有些可以信赖的人是受
存在量词消去规则（简称EI规则）
Existential Instantiation (EI)
xA( x) 规则成立的条件： A(c)
（1）c是使A（c）为真的某个特定的个体常元。 （2） xA（x）是闭式，且c不在A（x）中出现。
特别需要注意的是，使用这些规则的条件非 常重要，如在使用过程中违反了这些条件就可能导 致错误的结论。
x(M(x) ∧ G(x) ∧H(x) ) 前提
M(c) ∧ G(c) ∧H(c)
EI
M(c) ∧ G(c)
H(c)
(M(c) ∧ G(c))→ F(c) F(c) M(c) ∧ H(c) ∧F(c) x(M(x) ∧ H(x) ∧F(x) )
（1）；I1
（1）；I2 （2）；ES （3）；ES （4）（5）；I9 （6）；EG
因此 xP(x) xQ(x) x(P(x) Q(x))
例6 指出下面推理的错误.
设D(x,y)表示“x可被y 整除” ,个体域 为 { 5,7 ,10 ,11 }.
因为D(5，5)和D(10,5)为真，所以 xD(x,5)为真.
A(t) xA( x)
规则成立的条件：
（1）A（t）在任何解释I及I中对t的任何赋值下均 为真。此处t是自由变量
（2）x不在A（t）中约束出现。
存在量词引入规则（简称EG规则）
Existential Generalization(EG)
A(c) xA( x)
规则成立的条件： （1）c只需是某个特定的个体常量。 （2）x不在A（c）中出现。
(2)EI
（4）F（c）→（G（c）∧H（c））
(1)UI
（5）F（c）
(3)化简
（6）G（c）∧H（c）
(4)(5)假言推理
（7）P（c）
(3)化简
（8）H（c）
(6)化简
（9）P（c）∧H（c）
(7)(8)合取引入
（10） x（P（x）∧H（x））
(9)EG
问题：将这里的 （3）和（4）顺序调换，有什么不一样吗？
【例4】 构造下面推理的证明： 前提 x（F（x）→G（x）） 结论 xF（x）→ xG（x前提证明法。
证明
（1） x（F（x）→G（x）） 前提引入
（2） xF（x）
附加前提引入
（3）F（t）
（2）UI
（4）F（t）→G（t）
（1）UI
谓词逻辑推理理论
谓词逻辑推理理论
在谓词逻辑中，由前提A1，A2，…，An推出结 论B的形式结构仍然是A1∧A2∧…∧An→B。如果此 式是永真式，则称由前提A1，A2，…，An推出结论B 的推理正确，记作 A1∧A2∧…∧An B或者
A1，A2，…，An B，否则称推理不正确。
由于谓词演算是在命题演算的基础上，进 一步加入了谓词与量词的功能，因此容易想到， 命题演算中有关推理演绎的规则基本上适用于 谓词演算，即在命题逻辑中的各项推理规则在 谓词逻辑推理中仍然适用，当然也有些只适用 于谓词演算的概念与规则。