THANKS
18个碳原子，18个能级.
30个自由电子，可填满15个能级.
22个碳原子，22个能级.
36个自由电子，可填满18个能级.
基于Zigzag和Armchair边界石墨烯能级能量 和自由电子分布密度的研究
指导老师：XX 物理学 XXX 20112301XXX
01
02
石墨烯的发现和发展
石墨烯的结构和性质
03
紧束缚近似下石墨烯能级能量和 自由电子分布密度计算及分析
04
总结与展望
石墨烯的发现和发展
2004年，英国物理学家利用机械剥离的方法从一块高序热解 石墨（这种石墨在普通的铅笔里就能见到）中剥离出了仅 有一层碳原子厚度的石墨薄片——石墨烯
H -t （ e i kδ ）Ak B k B k Ak
k
δ
δ i1 i，δ 2
1 2
3 1 3 j，δ3 i j 2 2 2
ε k -t e
δ
i kδ
ky 3 kx 2 ky t 1 4cos cos 4cos 2 2 2
• 位于所选石墨烯对称位置上的碳原子，其 周围的自由电子分布密度相等 • 对于分布在锯齿谷的碳原子来说，其周围 分布的自由电子分布密度普遍较小；而位 于锯齿峰的碳原子周围分布的自由电子分 布密度普遍都较大。 • 当碳六元环个数n≥4时，由非锯齿边往内 第三个锯齿谷位置的碳原子周围的自由价 电子密度最小。 • 如图蓝色（红色）阴影部分的石墨烯， 其非锯齿边上碳原子周围自由价电子密度 大于（小于）由非锯齿边往内第一个锯齿 峰位置的碳原子，可以发现是随着碳六元 环个数周期性变更的。
紧束缚近似下Armchair石墨烯能级能量计算结果
1
2
3
4
宽度N=3，含周期重复单元个数1-4的Armchair石墨烯能级能量图
•石墨烯块含有的能级数与包含碳原子的个数相等，能级正负能级能量关于 E=0相互对称,能 级能量曲线变化趋势大致相同； •含不同个重复周期的Armchair石墨烯块的能级简并都是出现在E=±1两个能级上，能级简并 度个数与石墨烯块含有的碳六元环个数相同； •能级在0ev附近存在一个较大的间隙，随着石墨烯含有的重复周期的个数的增多，这个间隙 会慢慢变小。
石墨烯的性质和应用
石墨烯是世界上迄今为止发现的拥有最高强度、最好 韧性、最轻重量、最高透光率、最佳导电性的材料.
石墨烯的应用：复合材料、透明导电材料、超级电容器、 传感器、能源存储、取代硅用于电子产品、 医学方面、国防军事方面等.
紧束缚近似下石墨烯能级能量和自由电子分布密度计算 无限大理想石墨烯能带计算：
紧束缚近似下Zigzag石墨烯能级能量计算结果
最高能级
一半能级
自由电子填满一半的能级或者充满全部能级的时候，自 由电子在各个碳原子上的平均分布个数是一样的.
紧束缚近似下Armchair石墨烯自由电子分布密度计算结果
•自由电子充满一半的 能级或全部的能级的 时候，石墨烯每个碳 原子周围的自由电子 分布的平均个数是相 等的; •位于扶手边界扶手位 置的碳原子在半满向 邻近±1个能级跃迁 的时候，其周围的电 子分布的密度变化显 著，而非扶手椅边界 椅座位置的碳原子几 乎不变。
石墨烯块含有的能级数（含简并能级在内）与包含的碳原子的个数相等，能级能量都 存在正负能级能量关于E=0相互对称的现象。 1) 含碳六元环个数不同的Zigzag石墨烯能级能量曲线变化趋势大致相同。 2) 随着碳六元环个数的增加，最高能级和最低能级的能量差值会逐渐增大，但这种增 大会随着碳六元环个数的增加而变得缓慢。 3) 当能级处在区间｛-1.5,-1｝和｛1,1.5｝时，能级间的能量差值变化较为缓慢。
A1 A1 H （A1 B1 ）h （A1 B1 ）SES CEC B B 1 1
对A碳原子中自旋方向↑和↓的价电子无耦合，是等效的.
紧束缚近似下石墨烯能级能量和自由电子分布密度计算 有限大理想石墨烯能级计算：
对于有限大石墨烯，系统哈密顿量为：
H t Ai B j A iB j ij
4 1 6
2 5 3
A1 A1 （A1 B1 ）h （A1 B1 ）SES B B 1 1
C

（A1 B 1 ）S
A1 C S B 1
Ai C jS ji
j
Ai S i jC j
j
紧束缚近似下石墨烯能级能量和自由电子分布密度计算
有限大理想石墨烯自由电子分布密度计算：
紧束缚近似下Zigzag石墨烯自由电子分布密度计算结果
n=5
n=6
自 由 电 子 平 均 个 数
n=7
n=8
n=9
n=10
碳原子编号
石墨烯块填满一半能级时向附近的±1个能级跃迁的时候，锯齿谷位置的碳 原子较为稳定，在向邻近能级跃迁时其周围的自由电子分布密度不容易变 化；而位于锯齿峰位置的碳原子较为活跃，在跃迁时其周围的自由电子分 布密度变化显著.
紧束缚近似下Armchair石墨烯自由电子分布密度计算结果
含周期重复单元个数不同的Armchair石墨烯自由价电子分布密度图
• 位于对称位置的碳原子周围的自由电子分布平均个数是相等的； • 位于的扶手位置的碳原子周围分布的自由电子分布密度普遍都比分布于椅座位置的碳 原子周围的大，特别是非扶手椅边的碳原子周围的自由价电子分布密度最大； • 椅座位置的碳原子周围的自由电子的分布密度普遍较小。我们定义椅座位置靠近左 （右）边的为左（右）椅座，观察可以发现从左往右看，左椅座碳原子周围的自由价 电子分布密度逐渐减小，右椅座位置的碳原子周围的自由价电子分布密度逐渐增.
总结与展望
本论文主要工作：
结合理论推导和matlab软件的辅助，对Zigzag 边界和Armchair边界的石墨烯的能级能量和自 由电子分布密度情况进行了研究,这对认识石墨 烯的结构具有一定的意义.
本论的石墨 烯块，缺少对宽度较大的石墨烯块进行研究 探讨，是本论文存在的一个不足.
A碳原子周围自由电子平均分布个数——自由电子分布密度 ni
ni φ A 0 i Ai φ 0

Ai C jS ji
j
Ai S i jC j ；φ 0 C 2 C 2 C 1 C 1 vac
（电子数基矢）
j

ni vac C 1 C 1 C 2 C 2 C jS ji S i kC k C 2C 2C 1C 1 vac
j k
C
C jσ 0 iσ
C
i σ jσ

C
0
(对易关系) (反对易关系)
C

i σ jσ
C

δ δ

i j σσ
σ σ' ) 1(i j, σ σ' ) 0(i j,

ni
S i kS k i k M
紧束缚近似下墨烯能级能量计算结果
紧束缚近似下Armchair石墨烯能级能量计算结果
宽度N=5、7，含碳六元环个数不同的Armchair石墨烯能级能量对比图
能级在0ev附近不存在较大的间隙.
紧束缚近似下Zigzag石墨烯自由电子分布密度计算结果 一般地，对于宽度N=2，含碳六元环个数为n(n≥2）的Zigzag石墨烯 块，其包含的自由价电子不能填满所有的能级.
石墨烯的制备方法：微机械剥离法、热膨胀法、 化学气相沉积法、氧化石墨还原法等
安德烈· 盖姆(Andre Geim)和康斯坦丁· 诺沃肖洛夫(Konstantin Novoselov)
石墨烯的结构
理想的石墨烯块包含两套不等价的碳原子，每个碳原子具有四个价电子. 它是由sp2杂化的碳原子紧密排列而成的二维蜂窝状晶格结构，看上去就 像是一张由六边形网格构成的平面.
宽度N=2， 碳六元环个数n=4 宽度N=2， 碳六元环个数n=5
选为周期重复单元 宽度N=3， 周期重复单元个数n=1 （含两个碳六元环）
宽度N=3， 周期重复单元个数n=2
紧束缚近似下Zigzag石墨烯能级能量计算结果
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N=2，含碳六元环个数n分别为1-14的Zigzag边界石墨烯块的能级能量对比图
h=SES+
SS+ = I
h = zeros(6,6); h(1,4)=-t; h(1,6)=-t; · · · · · [S,E]=eig(h)
hS=SE
在matlab软件中利用[S,E]=eig(h) 函数计算出能级能量E
紧束缚近似下石墨烯能级能量和自由电子分布密度计算
有限大理想石墨烯自由电子分布密度计算：
H -t (AiσB j σ B jσAi σ)
i j
Ai
1 N
e i kR i Ak ，B j
k
1 N
eik R k

j
Bk
傅里叶变换
Ai
1 N
e -i k R k

i
Ak ，B j
1 N
e -i k R k

j
Ak