2.2 基本不等式最新课程标准：掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.知识点 基本不等式(1)重要不等式：对于任意实数a 、b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)基本不等式：ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2和ab分别叫做正数a ，b 的算术平均数和几何平均数．状元随笔 基本不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b∈R ＋)的应用：(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a >0，b >0，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤M 24，当且仅当a ＝b 时等号成立．即：a ＋b ＝M ，M 为定值时，(ab )max ＝M 24.(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a >0，b >0，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，当且仅当a ＝b 时等号成立．[基础自测]1．已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2解析：对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因为ab >0，所以ba >0，ab >0，所以b a＋a b ≥2b a ·a b ，即b a ＋ab≥2成立． 答案：D 2．若a >1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．aC.2aa －1D ．3 解析：a >1，所以a －1>0， 所以a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3. 当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号． 答案：D3．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4a≥4 B．a 2＋b 2≥4abC.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a ＝4，b＝16，则ab <a ＋b2，故C 错误；由基本不等式可知D 项正确．答案：D4．已知x ，y 都是正数．(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________． (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254.当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值．答案：(1)215 (2)2254第1课时 基本不等式题型一 对基本不等式的理解[经典例题] 例1 (1)下列不等式中，不正确的是( ) A.a 2＋b 2≥2|a ||b |B.a 2b≥2a －b (b ≠0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2≥2ab－1(b ≠0) D ．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(2)给出下列命题： ①若x ∈R ，则x ＋1x≥2；②若a <0，b <0，则ab ＋1ab≥2；③不等式y x ＋x y≥2成立的条件是x >0且y >0.其中正确命题的序号是________． 【解析】 (1)A 中，a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a ||b |，所以A 正确．由a 2＋b 2≥2ab ，得a 2≥2ab －b 2.B 中，当b <0时，a 2b ≤2a －b ，所以B 不正确．C 中，b ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2≥2ab－1，所以C 正确．D 中，由a 2＋b 2≥2ab ，得2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，所以D 正确．1．举反例、基本不等式⇒逐个判断． 2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断． 【答案】(1)B【解析】(2)只有当x >0时，才能由基本不等式得到x ＋1x≥2x ·1x＝2，故①错误；当a <0，b <0时，ab >0，由基本不等式可得ab ＋1ab≥2ab ·1ab＝2，故②正确；由基本不等式可知，当y x >0，x y >0时，有y x ＋x y ≥2y x ·xy＝2成立，这时只需x 与y 同号即可，故③错误．基本不等式的两个关注点(1)正数：指式子中的a ，b 均为正数， (2)相等：即“＝”成立的条件． 【答案】(2)②跟踪训练1 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A.a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b解析：0<a <b ⇒a 2<ab <b 2⇒a <ab <b,0<a <b ⇒2a <a ＋b <2b ⇒a <a ＋b2<b ，又ab <a ＋b2，所以a <ab <a ＋b2<b .答案：B利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理． 题型二 利用基本不等式求最值[教材P 45例2] 例2 已知x ，y 都是正数，求证：(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.【证明】 因为x ，y 都是正数，所以x ＋y2≥xy .(1)当积xy 等于定值P 时，x ＋y2≥P ，所以x ＋y ≥2P ，当且仅当x ＝y 时，上式等号成立．于是，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . (2)当和x ＋y 等于定值S 时，xy ≤S2，所以xy ≤14S 2，当且仅当x ＝y 时，上式等号成立．于是，当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.积是定值，和有最小值． 和是定值，积有最大值． 教材反思1．利用基本不等式求最值的策略2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件． 跟踪训练2 (1)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则 (1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9 D ．36(2)若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112解析：(1)因为x >0，y >0，且x ＋y ＝8， 所以(1＋x )(1＋y )＝1＋x ＋y ＋xy ＝9＋xy ≤9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝9＋42＝25，因此当且仅当x ＝y ＝4时， (1＋x )·(1＋y )取最大值25.(2)因为正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0， 所以x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0.设x ＋2y ＝t >0， 所以t ＋14t 2－8≥0，所以t 2＋4t －32≥0， 即(t ＋8)(t －4)≥0， 所以t ≥4，故x ＋2y 的最小值为4. 答案：(1)B (2)B 状元随笔1．展开(1＋x)(1＋y)⇒将x ＋y ＝8代入⇒用基本不等式求最值．2．利用基本不等式得x ＋2y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0⇒设x ＋2y ＝t>0，解不等式求出x ＋2y的最小值．易错点 利用基本不等式求最值例 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6【错解】 由x ＋3y ＝5xy ⇒5xy ≥23xy ， 因为x >0，y >0，所以25x 2y 2≥12xy ，即xy ≥1225.所以3x ＋4y ≥212xy ≥212·1225＝245，当且仅当3x ＝4y 时取等号， 故3x ＋4y 的最小值是245.错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．【正解】 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x5y ＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5. 答案：C课时作业 8一、选择题1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋a b≥2，故只须a 、b 同号即可，∴①③④均可以． 答案：C2．已知t >0，则y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．－5解析：依题意得y ＝t ＋1t－4≥2t ·1t－4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2. 答案：B3．若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D．a 2＋b 2≤3 解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ， 即2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4， ∴a 2＋b 2≥2. 答案：C4．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．答案：C 二、填空题5．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是________． 解析：当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0时“＝”成立，此时a ＝1. 答案：a ＝16．设a ＋b ＝M (a >0，b >0)，M 为常数，且ab 的最大值为2，则M 等于________． 解析：因为a ＋b ＝M (a >0，b >0)，由基本不等式可得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝M 24，因为ab 的最大值为2， 所以M 24＝2，M >0，所以M ＝2 2.答案：2 27．已知x >0，y >0，且1y ＋3x＝1，则3x ＋4y 的最小值是________．解析：因为x >0，y >0，1y ＋3x＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝13＋3x y ＋12y x≥13＋3×2x y ·4yx＝25(当且仅当x ＝2y ＝5时取等号)，所以(3x ＋4y )min ＝25. 答案：25 三、解答题8．已知x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．解析：因为x <54，所以4x －5<0,5－4x >0.f (x )＝4x －5＋3＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x 时等号成立，又5－4x >0， 所以5－4x ＝1，x ＝1. 所以f (x )max ＝f (1)＝1.9．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值． 解析：因为f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值． 又因为x ＝3，所以a ＝4×32＝36.[尖子生题库]10．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，求函数y ＝1x ＋81－2x 的最小值． 解析：y ＝22x ＋81－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋81－2x ·(2x ＋1－2x )＝10＋2·1－2x 2x ＋8·2x 1－2x ， 而x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，2·1－2x 2x ＋8·2x 1－2x ≥216＝8，当且仅当2·1－2x 2x ＝8·2x1－2x ，即x ＝16∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时取到等号，则y ≥18，所以函数y ＝1x ＋81－2x 的最小值为18.。