(7)系统传递函数（微分方程）与状态空间方程两种数学模型之间 可相互转换。
（三）典型实例的选讲
1、一老式货运汽车的悬挂系统如下图所示，求汽车相对于路面 的位移x和悬挂部分的位移y1之间的关系。
系统振动方程：
又令：
得状态空间表 达式为：
2、电动机通过弹性轴联 接惯性负载的简化模型
求电动机输出力矩 Tm与负载转角θL间 关系
振动方程
传递函数
取状态变量：
非刚性耦合使系统阶次增高，会引起谐振传递至整个系统， 带来稳定性等问题。联接轴刚度k无穷大时，可简化为：
3、油井钻井平台与钻孔机的简化模型。钻井平台向钻孔机提供 驱动力矩，带动钻轴转动，钻头受被钻物体的接触力矩。
求输入（驱动）力 矩τ2与转角θ2间关 系。
取状态变量 状态空间 表达式：
液体流量恒为Q，液体比热为S，容器热容量为C，电热器热功 率为q(t)。 以q(t)为输入量，以出口、入口处的温度差T=T0-Te为输出量， 则有系统的动态方程为：
dT C SQT q dt
7、液位系统 下图所示为存在交联作用的复杂液位系统。
流量与液面差间近 似取线性关系q=h/R， R为阀门液阻。C1、 C2为液容，即容器截 面积。 有方程：
一、机电一体化系统的建模
（一）动态系统的经典数学模型及其分析
物理的动力学系统，动态过程；能量、信号的转换作用。 系统数学模型的建立方法： 1）分析法（解析法），得到解析模型（机理模型）； 2）系统辨识。 系统的非线性、时变性的处理
用解析法建立系统微分方程、传递函数的一般步骤（经典模型） 分析系统工作原理和系统中变量的关系，确定系统的输入量与 输出量 选择合适的中间变量，根据基本的物理定律，列写出系统中每 一个元件的输入与输出的微分方程式 消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式 对非线性项加以线性化 或做拉普拉斯变换，变代数方程消元或用方框图等效、梅逊公 式等方法形成传递函数。
为形式：MX
CX KX F
称为振动方程
第一主振型 第二主振型 二自由度系统的自由振动 主振型图
三自由度阻尼 振动系统 运用隔离体法，对每个质量块进行分析，可得该三自由 度系统的运动微分方程为：
.. . . . . m2 x2 (t ) F2 (t ) k2 ( x2 (t ) x1 (t )) c2 ( x2 (t ) x1 (t )) k3 ( x3 (t ) x2 (t )) c3 ( x3 (t ) x2 (t )) .. . . m3 x3 (t ) F3 (t ) k3 ( x3 (t ) x2 (t )) c3 ( x3 (t ) x2 (t )) m1 x1 (t ) F1 (t ) k1 x1 (t ) c1 x1 (t ) k2 ( x2 (t ) x1 (t )) c2 ( x2 (t ) x1 (t ))
Gs 就是该系统的传递函数 阵
用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵，中间变量的消元
其它：
机械传动系统； 液压系统； 机电系统； 热力学系统；等等 微分方程的求解 系统响应的求解、分析
（二）动态系统的现代数学模型及其分析
y x1
y x1
对于以上SISO线性系统，既可用高阶微分方程来描述 输入-输出关系：
X1 0 M 1 F 1 M C X 2 I
至于输出方程，可根据实际的求解要求而容易写出！
5、齿轮传动系统
以下图中，T为输入转矩，忽略轴的弹性，同轴齿轮的 转动惯量和阻尼系数归并。以转轴1的转角θ1为输出量。求T与 θ1间的关系。并记： n r T n 1 1 1 2 n2 r2 T2 1
4、多自由度振动系统的状态空间表达
多自由度振动系统振动方程转换为相应的状态空间方程可 有统一的方法： 系统振动方程 变形为：
MX CX KX F
M 1CX M 1KX M 1F X
取X1 X , X 2 X
得状态方程为：
X1 0 1 X 2 M K
k2 k 2 k3 k3
0 x1 F1 (t ) k3 x2 F2 (t ) k3 x3 F3 (t )
三自由度系统及其固有模态振型
连续体振动系统
均匀简支梁：
简支梁的前三阶主振型可形如下图所示：
消去中间变量，得：
比拟于电网络：
8、机电控制系统
（1）执行电动机 取：
电动机动态方框图：
传递函数：
直流电机本身为开环系统，存在一由反电动势构成的 自反馈回路。
以角速度为输出量时为一阶惯性系统！
（2）伺服控制系统
例1：电视卫星天线位置伺服系统。 认为电视卫星天线有大的惯量，而忽略其负载力矩。
均匀悬臂梁：
悬臂梁的前三阶主振型可形如下图所示：
对于多输入-多输出的系 统，要用传递函数关系 阵去描述它们间的关系， 如右图所示的系统
Y1 s G11 s U 1 s G12 s U 2 s 或写作
二输入二输出系统
Y2 s G21 s U 1 s G22 s U 2 s Y1 s G11 s G12 s U 1 s Y s G s G s U s 22 2 21 2
两转轴的力矩平衡方程为：
消元中间变量，得T与θ1间关系：
分别为转轴2等效于转轴1 后的总的等效转动惯量和阻尼系数。 即等效成为：
齿轮传动系统可机电比拟于理想变压器系统：
比拟关系为
根据电压、电流变换关系： 可得一次侧的电压、 电流微分方程为：
6、热力学系统
加热系统：温度为Te 的冷液体流入加热箱，电加 热均匀后，为温度T0，流出。
该电液伺服系统的闭环传函为：
SISO系统的 系统状态图
MIMO系统的系统状态图
状态变量的个数一般等于系统所包含的独立储能元件 的数目。一个n阶系统有n个独立的状态变量，为状态的最 大线性无关组，或称最小变量组。选择不唯一，一般取系统 中易于测量观测的量作状态变量。
前述的M-C-K系统的状态空间表达式即为：
R-L-C系统的状态空间表达式即为：
电位器：设对输入、输出增益相同，则
差值放大器和功率放大器的电压放大倍数分别为：A1，A2
齿轮系的传动关系：
m、 分别为电机输出转角和天线转角
直流电机的模型为： 位置伺服控制系统的方框图：
闭环传递函数： 成为二阶系统
例2：火车机车驱动控制系统
放大器：
功率放大器为非线性特性， 需做线性化处理。
例3：电液伺服系统
负载效应
机械网络 (机械振动基础)
单自由度系统
c
d 2 y(t ) dy(t ) m c ky (t ) F (t ) 2 dt dt
弹簧-质量-阻尼器系统
(a)主动隔振力学模型
(b) 被动隔振力学模型
隔振的力学模型
二自由度振动系统：
具有黏性阻尼的二自由度 系统强迫振动：
x m11 (c1 c2 ) x1 (k1 k2 ) x1 c2 x2 k2 x2 F1 (t ) x m2 2 c2 x2 k2 x2 c2 x1 k2 x1 F2 (t )
电气网络
（a）R-C电路1
（b）R-C电路2
R、C换位
（c）Ｒ-L-C电路
（d）R-C滤波网络
以（d）为例说明
U r s U c1 s U c1 s U c s I1 s , I2 s R1 R2 I1 s I 2 s 1 U c1 s ,U c s I2 s C1S C2 S
也可用一阶微分方程组来描述：
对于MIMO系统，更适于用一阶微分方程组的形式来描述：
状态与状态变量
设以上MIMO系统的状态变量记为：
输入函数：u (t ) u1 (t ), u2 (t ), , um (t )
T
T
输出函数：c (t ) c1 (t ), c2 (t ), , cr (t )
.. . . .
m1 0 0
0 m2 0
0 1 c1 c2 x 0 2 c2 x m3 3 0 x
c2 c2 c3 c3
0 x1 k1 k2 c3 x2 k2 c3 x3 0
状态空间表达式为现代控制理论的基本模型！同时也是动力学系 统研究的一种重要模型。 现代控制理论与经典控制理论特性的比较： (1)状态空间描述是系统输入、状态和输出诸变量间的时域描述， 涉及系统全部信息，比传递函数法更为完善，为系统的内部描述法； (2)状态空间描述特别适于多变量系统的描述； (3)状态空间描述法不仅适于线性系统，还适于时变系统，非线性 系统以及非零初始条件下的系统分析求解； (4)用向量、矩阵表达系统的状态空间方程，系统状态空间描述的 形式及其求解计算适于计算机处理、分析和设计，直观简单、方法统一； (5)n个一阶微分方程组的求解比一个n阶微分方程的求解简单，并 有标准型法、状态分解法等求解方法。 (6)输出反馈、状态反馈，可达到极点的任意配置，以及最优控制， 所用方法严谨统一，而基于传递函数的根轨迹法、频率响应法等经典设计 法，实质为一种试凑法，不能得到某种意义下的最优性能。
x m1 0 1 c1 c2 0 m c 2 x2 2
c2 x1 k1 k2 x k c2 2 2
k2 x1 F1 (t ) x F (t ) k2 2 2
T