柯西不等式的证明————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:柯西不等式的证明及应用（河西学院数学系０1（２)班 甘肃张掖 ７３４000)摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

本文在证明不等式,解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。

关键词：柯西不等式 证明 应用中图分类号： Ｏ178Ident ｉficatio ｎ a ｎd ap ｐli ｃation ｏｆ Cau ｃｈy ine ｑuali ｔyCh ｅn B ｏ(dep ａｒｔment of ｍａt ｈem ａtics , Hexi ｕni ｖersi ｔｙ ｚhangye ga ｎsu 7３4000） A ｂstract : Cauchy-ine ｑuali ｔy is ａ v ｅｒｙ imp ｏrtant in equ ａti ｏn, flex ｉb ｌe ｉnge ｎi ｏus ａpplication ｉt, can ｍａke some compar ａtively difficul ｔ p ｒobl ｅｍs ｅasily sol ｖed . This ｔｅxt p ｒo ｖｅ inequality ， s ｏlv ｅ ｔｒiangle ｒｅｌｅv ａnt pro ｂlem, ｉs it ｗorth most to ａsk, t ｈe ａｐp ｌica ｔio ｎ whi ｃh ｓｏlve ｓ ｓuch ｑuestio ｎs as the eq ｕat ｉon ,ｅtc. ｐrov ｉｄes severa ｌ ｅxamp ｌes.K ｅｙw ｏrd :inequat ｉｏn p ｒove ap ｐlication柯西(Ｃａuc ｈy ）不等式[][]12()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,=∈ 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下:证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22222121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++ 22120n n a a a +++≥()0f x ∴≥恒成立()()()2222211221212440n n n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤ 即()()()2222211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ 当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212n na a ab b b ===时等号成立 证明(2)数学归纳法 （1)当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b显然 左式=右式当 2n =时,右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立（２)假设n k =(),2k k ∈N ≥时,不等式成立即 ()()()2222211221212k k k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当 i i ka b =，ｋ为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立 设22212k a a a A ==== 22212k b b b B ==== 1122k k C a b a b a b =+++ 则()()2222211111k k k k k a b b a b +++++A +B +=AB +A +()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+()()22222222121121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++++()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++当 i i ka b =,k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立 即 1n k =+时不等式成立综合(1）（2)可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,利用柯西不等式可处理以下问题:1） 证明相关命题例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式[]3。

已知点()00,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 设点p 是直线l 上的任意一点, 则0x x C A +B += (１） ()()22120101p p x x y y =-+- (2）点12p p 两点间的距离12p p 就是点p 到直线l 的距离，求(２）式有最小值，有()()()()222201010101x x y y x x y y A +B -+-≥A -+B -()0011x y C x y C A +B +-A +B +由（1）(2)得:221200p p x y C A +B ≥A +B + 即001222x y Cp p A +B +≥A +B (３）当且仅当 ()()0101:y y x x B --=A 12p p l ⊥ (３)式取等号 即点到直线的距离公式即001222x y Cp p A +B +=A +B2） 证明不等式例2 []4已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b c a b c ++++≥ 证明：利用柯西不等式()23131312222222222a b c a a b b c c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭ []222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2333a b c a b c =++++ ()1a b c ++= 又因为 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2,再加上222a b c++得:()()2223a b c a b c ++≤++ ()()()22223332223a b c a b c a b c ++≤++•++ 故2223333a b c a b c ++++≥ 3） 解三角形的相关问题例3 设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，证明22212x y z a b c R++≤++ 证明：由柯西不等式得,111x y z ax by cz a b c ++=++111ax by cz a b c≤++++ 记S 为ABC 的面积，则2242abc abc ax by cz S R R++=== 122abc ab bc ca x y z ab bc ca R abc R ++++≤=++22212a b c R ≤++ 故不等式成立。

4） 求最值例4[]5已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值 解:由柯西不等式得,有()()2222111236236b c d b c d ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭即()2222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2253a a -≥- 解得，12a ≤≤当且仅当236121316b c d == 时等号成立， 代入111,,36b c d ===时, max 2a = 211,,33b c d ===时 min 1a = ５）利用柯西不等式解方程[]5例5．在实数集内解方程 22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩ 解:由柯西不等式,得()()()()222222286248624x y z x y y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣⎦①()()()2222228624x y z ⎡⎤++-++-⎣⎦()2964364144394=⨯++⨯= 又()22862439x y y -+-= ()()()()222222286248624x y z x y z ⎡⎤++-++-=-+-⎣⎦即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件,得8624x y z ==-- 它与862439x y y -+-=联立,可得613x =- 926y = 1813z =- 6)用柯西不等式解释样本线性相关系数[][]67在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中,有样本相关系数()()12211()()ni ii n n i i i i x x y y x x y y ===----∑∑∑r=,并指出1r ≤且r 越接近于１,相关程度越大,r 越接近于0,则相关程度越小。

现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。

现记i i a x x =-,i i b y y =-，则，12211n i i i n ni i i i a b a b ===∑∑∑r=，由柯西不等式有,1r ≤ 当1r =时,()222111nn n i i ii i i i a b a b ====∑∑∑ 此时，()()i i i i y y b k x x a -==-,k 为常数。

点(),i i x y n i 2,1=均在直线()y y k x x -=-上，r当1r →时，()222111n n n i ii i i i i a b a b ===→∑∑∑ 即()2221110n n n i ii i i i i a b a b ===-→∑∑∑而()()22221111n n n i i ii i j j i i i i i j n a b a b a b a b ===≤≤≤-=--∑∑∑∑()210i j j i i j n a b a b ≤≤≤-→∑⇒0i j j i a b a b -→ ⇒,i ib k k a →为常数。