长沙市第一中学2019-2020高一第一学期期中考试
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1.设集合{}
21,A x x k k ==+∈Z ，则( )
A.3A ⊆
B.3A ∈
C.3A ∉
D.3A
Ü
2.下列函数既是偶函数又有零点的是( )
A.2
1y x =+
B.2x
y =
C.2
y x x =+
D.1lg y x =+
3.函数()f x ，()g x 由如下表格给出，则()()
3f g =( )
A.4
B.3
C.2
D.1
4.函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4x
f x m =+，则12f ⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
( ) A.1
B.2-
C.1-
D.32
-
5.函数()f x 与()x
g x a =互为反函数，且()g x 过点()2,4-，则()()12f f +=( )
A.1-
B.0
C.1
D.
14
6.根据表格中的数据，可以断定方程20x
e x --=的一个根所在的区间是( )
A.()1,0.5-
B.()1,0-
C.()1,2
D.()2,3
7.如图，在直三棱柱111ABC A B C -(侧棱1AA 垂直于底面ABC )中，D 为11A B 的中点，12AB BC BB ===，25AC =，则异面直线BD 与AC 所成的角为( )
A.30o
B.45o
C.60o
D.90o
8.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝(dB )，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：0
10lg
I
I η=(其中0I 是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70dB 的声音的声波强度1I 是60dB 的声音的声波强度2I 的( )
A.
7
6
倍
B.710
6
倍
C.10倍
D.7ln
6
倍 9.下列不等式中不成立的是( )
A.0.50.556<
B.22log 3log 5<
C.0.2
3log 0.83
-<
D.0.30.40.10.1<
10.若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.
72
π
B.14π
C.28π
D.56π
11.已知函数()()()2,1,
1,1,x ax a f x ax x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩
若存在12,x x ∈R ，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数
a 的取值范围是( )
A.2a >
B.2a <
C.22a -<<
D.2a >或2
a <-
12.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.32=，[]1.82-=-，方程113x ⎡+-⎤=⎣⎦的解集为A ，集合{
}
22
211150B x x kx k =-+-<，且A B =R U ，则实数k 的取值范围是( )
A.6446,
,5335⎡⎫⎛⎤
--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
U
B.642
2,,5335
⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣
⎭
U
C.6422,,5335
⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦
U
D.6422,
,5335⎡⎫⎛⎤
--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
U 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) ()1⎛
⎫()
14.不等式()12
log 11x ->-的解集为__________.
15.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半.科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变.经探测，一块鸟化石中碳14的残留量约为原始含量的37.5%. 设这只鸟是距探测时t 年前死亡的，则t 满足的等式为__________.
16.已知，若定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②
()11f =；③当10x ≥，20x ≥，121x x +≤时，()()()1212f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为Z
函数.以下说法：
(1)若函数()f x 为Z 函数，则()00f =； (2)函数()[]()
210,1x g x x =-∈是一个Z 函数；
(3)若函数()f x 为Z 函数，则函数在区间[]0,1上单调递增；
(4)若函数()f x 、()g x 均为Z 函数，则函数()()mf x ng x +(0m >，0n >，且1n n +=)必为Z 函数. 正确的有__________(填写序号).
三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17.(本小题满分10分) 若函数2
x y =
的定义域为集合A ，集合21log ,,42B y y x x ⎧⎫
⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩
⎭. (1)求A R ð，A B I ； (2)若集合{
}
24x m
C x -=≥，且()C A B U Ü，求实数m 的取值范围.
如图所示的圆锥SO 中，母线长为4，且其侧面积为8π.
(1)求该圆锥的体积；
(2)若AB 为底面直径，点P 为SA 的中点，求圆锥面上P 点到B 点的最短距离.
19.(本小题满分12分)
如图，正方形1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为1A B ，AC 的中点.
(1)证明：//EF 平面11AC D ； (2)求三棱锥11F A C D -的体积.
牧场中羊群的最大蓄养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y (只)和实际蓄养量x (只)与空闲率(=空闲率-最大畜养量实际畜养量
最大畜养量
)
的乘积成正比，比例系数为()0k k >.
(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知二次函数()2
224f x x mx m =+++.
(1)若函数()f x 有两个零点，且一个小于1，一个大于4，求实数m 的取值范围； (2)若关于x 的方程()
240x f +=有实数解，求实数m 的取值范围.
已知函数()21a
f x x x
=+
-(a 为常数). (1)当1a =-时，判断()f x 在()0,+∞的单调性，并说明理由； (2)若存在x ∈R ，使不等式()
20x f <成立，求a 的取值范围； (3)讨论()f x 零点的个数.。