第二章随机变量及其概率分布考试模拟题(共90 分)一．选择题(每题2分共20分)1．F(X) 是随机变量X的分布函数，则下列结论不正确的是( B )A.0 F( x) 1B.F( x)=P{X=x}C.F( x)=P{X x}D.F( )=1, F( )=0 解析：A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！ B 是错误的。
2．设随机变量X的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C )A.0.3B.0.5C.0.6D.0.4解析：由分布函数定义F(5)=P{X 5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是4x 0 x1 2xA.F(x)=B.F(x)=其它其它x<0 x<0C.F(x)= 2xD.F(x)= 2x 0 x 0.5其它≥0.5解析：由分布函数F(x) 性质：0 F(x) 1，A,B,C 都不满足这个性质，选D4．设X 的密度函数为f(x)=则P{-2<x<2}=( B )1解析：根据密度函数性质： A.有f(x) 0的情况，错； B.D. 不符合 f(x)dx 1错；1C. 112dx 21x|11 12 21 1 选 C6.设随机变量 X~N(1 ，4)， (1) 0.8413, (0) 0.5 ，则事件 {1 X 3 } 的概率为(D )解：P{1 X 3 }=F(3)-F(1)= (3 1) (1 1) (1) (0) 0.8413 0.5 0.3413227．已知随机变量 X 的分布函数为( A )0 x 010 x 1F(x)= 2 ，则 P X 1 =21x3 31 x 3112A ． 1B ． 1C ． 2D ． 1623A. 0B.C. D.848解析： P {-2<x<2}=21f (x)dx= 0dx222xdx=148选B5. 设随机变量 X 的取值范围是 (-1,1),以下函数可作为 X 的概率密度的是( C )A.f(x) = 0x,,1 x 1;其它.B.f(x)2x,0,1 x 1; 其它.1C.f(x) = 20,1 x 1;其它.D.f(x)=2, 1 x 1; 0, 其它 .A.0.1385B.0.2413C.0.2934D.0.3413解析：把分布函数 F(x)倒推到分布律 : 选 A8．设随机变量 X 的概率密度为 f (x)= 2 x1.21.1.21 2 11 2 1.2解析： P{0.2<X<1.2}= f (x)dx xdx (2- x)dx 1 x 2 |10.2(2x 1 x 2) |11.20.20.212 0.22 11 1 11 = - 0.04 2.4 1.442 0.5 选 A 2 2 2210、设随机变量 X 在区间 [2 ，6]上服从均匀分布，则 P{2<x<4}=( C ) A.P{5<x<7} B.p{1<x<3} C.P{3<x<5} D.P{4.5<x<6.5}4 25 3解析：P{2<x<4}= 4 2 =0.5, 而 C.P{3<x<5}= 5 3 =0.5, 其余都不是 0.5，选 C6 2 6 2注意:X 的取值范围是 [2 ，6] ， A.B.D. 都超出了范围，计算时要注意，如 A.0x11 x 2，则 P(0.2<X<1.2)= (A ) 其它A.0.5B.0.6C.0.66D.0.7 9 ．已知连续型随机变量 X 服从区间 [ a ，b] 上的均匀分布，则概率PX2a bA ．0 D ．1解析：PX 2a b2a b32a b b a a 3 = 3 b a b a13， 选 B注意： PX2a b32a b3，题目故意隐蔽了 X 的下限 a75 16 5 1P{5<x<7}= P{5<x<6}= 6 5 1 ， 很容易犯的错：6 2 4．填空题(每题2分共 20分)密度 f(x)为(x<02．设随机变量 X 的分布为 P{X=k}= 10 ，k=0,1 ，2,3,4, 则P{0.5<X ≤2}=( 3/10 )解析：根据所给分布律： P{0.5<X ≤2}=P{X=1}+P{X=2}=1/10+2/10=3/103．设随机变量 X ～N(2,9) ，已知标准正态分布函数值 (1) 0.8413 ，为使 P{X<a}<0.8413, 则常数 a<( 5 )解析：a 2 a 2P{X<a}=F(a)= ( ) (1) 1 a 5 334．某人掷五次骰子，则在五次中得到点为 6 的次数 X 的分布率为 P{X=i}= i 1 i 5 5i(C 5i ( )i ( )5 i ) i=0,1,2,3,4,566解析：二项分布 B(5,1/6) ：P{X=i}= C 5i (1)i (5)5665.设随机变量 X 服从区间［0 ，5］上的均匀分布，则 P X 3 = __3/5P{5<x<7}=6 2 21．设连续型随机变量 X 的分布函数为如下 F(x), 则当 0 x 0.5时，X 的概率F(x)= 2x, 0 x 0.50.5解析： f(x)= F (x) ：( 2x ) =2 ； ) =0 ；(1 ) =0所以： f (x)2 0 x 0.5 0 其它解析：P X 3 P 0 X 3 3 0 3 此题主要注意 X 的取值范围 : X 05 0 56．设随机变量 X 服从区间 0,10 上的均匀分布，则 P (X>4 )=_3/5_．10-4 3P{X>4}= P{ 4 X 10} = 此题主要注意 X 的取值范围 :X 1010-0 57．在 0,T 内通过某交通路口的汽车数 X 服从泊松分布，且已知P{X=4}=3P{X=3} ，则在 0,T 内至少有一辆汽车通过的概率为 1-e 12．43解析：泊松分布： P{X=K}= ，根据 P{X=4}=3P{X=3} e 3 e 4！ 3!13 12 4！3!“至少有一辆汽车通过”用它的逆事件“没有一辆通过”的概率做方便：0 18. 已知随机变量 X 的分布函数为 F(x)= 223 1解析： P{2<X ≤4}=F(4)-F(2)=1-2/3=1/310．设随机变量 X 的概率分布为解析：根据密度函数性质：Ce |x|dxCe x dx Ce x dx Ce x |0Ce x |0- - 09. 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=ce-|x| ，∞<x<+∞，则 c=1/2 。
=C-0-0+C=1 2C 1 C 1/2P{ 至少有一辆汽车通过 }=1-P{X=0}=1-12120！1-e12x0 0x1 1 x 3 x3则 P{2<X ≤ 4}=1/3_ 。
1F(x) 为其分布函数，则 F(3)=53/56 ．解析： F(3)=P{ X 3} =1/4+1/8+4/7=53/56 (用 1-3/56 计算方便)注意：本题( 1)理解分布函数意义 F(x) P{X x}(2) 对于离散型求概率时一 定要在乎 X x 与X x 的区别，对于本题如果没有“等于”， 4/7 就不算在内 了。
而连续型可以不在乎有没有“等于”，不会影响求概率结果。
三．计算题。
1、设分别有标号 1～5 的五张卡片，每次任取一张，取后不放回， X 为直至取到 大于等于 3 的卡片为止所需要的次数，求X 分布率。
(6分)解析： P{X=1}=3/5;P{X=2}=(2/5)(3/4)=3/10;P{X=3}=(2/5)(1/4)(3/3)=1/10注意：概率之和应该为 1，否则肯定是错了！2、设离散型随机变量 X 的分布律为下表(8 分)求：( 1)X 的分布函数 F(X)(2) 试用所求得分布函数求 P{0.5<X 3}2) P{0.5<X 3} =F(3)-F(0.5)=1-0.1=0.9解析：1) 0.1F(x)0.4x1 x2 x23．随机变量 X 的密度函数为8分)312)P{x 3} 3 x 12dx 1| 1 x 21 |13 11 2 x 13 3( 注意积分下限从 1 开始， 而不是 1/3)cx+1, 0 x 2 f(x)=0, 其它求：( 1)常数 c(2)P{1<x<3}2cx 2(1) (Cx 1)dx=( cx x) 02=2c+2=1 c 0.5 023 22 22)P{1<x<3}= f (x)dx (1 0.5x)dx (x 0.25x 2 |12 =2-1-1+0.25=0.251)求 X 分布函数 F X (x)12)求 P{1 X 3}33)令 Y=3X,求 Y 概率密度 f Y (y)4．设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)x 12 0x1 x110分)所以： x1 x11) x 1 时 ：F X (x)1 01 12 或直接利用( 1)的结果 P{1 x 3} F(3)-F(1)= - 1 1 1-1 23 3311(3) 由 Y=3X X=13Y X 131 1 3 当 y 3时， f Y (y)11 (1) 321 2 3 y 2(3 y)2 3y5．甲在上班路上所需的时间（单位：分） X~N （50，100）．已知上班时间为早 晨 8 时，他每天 7 时出门，试求： （10 分 ）（1）甲迟到的概率；（2）某周（以五天计）甲最多迟到一次的概率．（Φ（1）=0.8413，Φ（1.96）=0.9750，Φ（2.5）=0.9938） 解析：（ 1）设 X 为需要时间（分）则P{甲迟到 }=P{X>60}=1-P{X<60}=1-F （60）=60-501- （ ） 1- （1）=1-0.8413=0.158710（2） 设 Y 为天数，则 Y~B （5,0.1587） P{最多迟到一次 }=P{Y=0}+P{Y=1} =C 50 0.15870 0.84135 C 51 0.15871 0.8413454= 0.84135 5 0.1587 0.84134 =0.818976．已知某种类型的电子元件的寿命 X （ 单位：小时 ） 服从指数分布，它的概率密 度为y<3 时， f Y (y) 0所以： f Y (y)y 32y3x 1600某仪器装有 3只此种类型的电子元件， 假设 3只电子元件损坏与否相互独立， 试 求在仪器使用的最初 200 小时内，至少有一只电子元件损坏的概率．( 10 分)1(2)设Y 为损坏的电子元件数量，则 Y~B(3,1 e 3)1 1 2P{Y 1} 1 P{Y 0} =1- C 30 (1 e 3)0(e 3)2=e 3f ( x)6000,x 0,x 0.解( 1)先求每个电子元件 200 小时内损坏的概率|2000 e 3e 01e200x1e 600 dx600x6010( 600)e600P{ X 200}。