三角恒等变换题型归纳梳理一、知识点总结：1、同角三角函数的基本关系式 ：①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θθcos sin ， 2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3、和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. ααααcos sin 21)cos (sin 2±=±ϕ由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 4、二倍角公式及降幂公式sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+== 5、三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+， (A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=； 函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 二、重难点题型突破：1、两角和与差的余弦公式的应用cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=例1．（1）（2019·山东高一期末）（ ）A B ． C ．D ． 10208020cos cos cos sin ︒-︒︒=1212-【解析】由诱导公式，所以选择A （2）．已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】为锐角，且，.为第三象限角，且，，.故选A. 【变式训练】（1）（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）cos80cos 200sin100sin340+=（ ）A ．12B ．2C ．12-D【详解】()()()cos80cos 200sin100sin340cos80cos 18020sin 18080sin 36020+=++--()cos80cos 20sin80sin 20cos80cos 20sin80sin 20=--=-+()1cos 8020cos602=--=-=-.故选：C.（2）（2018·徐汇区·上海中学高三月考）1cos(2)9αβ-=-，2sin(2)3αβ-=，且α、02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()cos αβ+=________102080201020sin1020cos cos cos sin cos cos sin︒-︒︒=︒-︒︒1020sin1020cos(1020)cos302cos cos sin ︒-︒︒=︒+︒=︒=αβ12cos 13α=3sin 5β=-()cos αβ-6365-3365-63653365α12cos 13α=5sin 13α∴==β3sin 5β=-4cos 5β∴==-()12453cos cos cos sin sin 135135αβαβαβ⎛⎫⎛⎫∴-=+=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6365=-【详解】由,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得：2,2παβπ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，2,2παβπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又1cos(2)09αβ-=-<，2sin(2)03αβ-=>，所以2,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，20,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin(2)αβ-=，cos(2)αβ-=，又因为(2)(2)αβαβαβ+=---，所以 ()[]cos cos (2)(2)αβαβαβ+=---cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)αβαβαβαβ=--+--1293=-+=. 二、两角和与差的正弦公式的应用sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±例2．（1）（2021·江苏高一）sin11cos19cos11cos71︒︒+︒︒的值为（ ）A B ．12C D 【详解】sin11cos19cos11cos71︒︒+︒︒sin11cos19cos11sin19=︒︒+︒︒()1sin 1119sin 302=︒+︒=︒=.故选：B. （2）（2020·湖南省平江县第一中学高三月考）若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，5cos()13αβ+=，则sin β的值为（ ）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365【详解】因为,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=， 所以312sin ,sin()513ααβ=+=，所以故sin sin[()]βαβα=+-124533313513565=⨯-⨯=，故选：B.【变式训练】．（1）（2020·全国高一课时练习）sin152sin 30cos15+=__．【详解】sin152sin 30sin152sin(4515)cos15cos15++-=sin15cos15sin151cos15+-==．答案为：1． （2）（2021·浙江宁波市·高一期末）已知35sin ,cos ,0,,,51322ππαβαβπ⎛⎫⎛⎫==-∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________.【详解】30,,sin 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则4cos 5α=，5,,cos 213πβπβ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，则12sin 13β= ()3541233sin sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：3365三、 两角和与差的正切公式的应用tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=例3．（1）（2020·全国高一单元测试）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．7-C ．247D ．1731【详解】由题意，利用任意角的三角函数的定义可得44tan 33α-==-， 所以41tan 13tan 7441tan 13πααα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-.故选：B . （2）．已知，，那么（ ）()2tan 5αβ+=1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．【解析】因为，所以，故选:C【变式训练】（1）（2019·山东菏泽市·高一期中）已知α，β为锐角，3sin 5α=，12cos 13β=，则()tan αβ+的值为（ ）A ．5633B ．1663C ．3356D ．6316【详解】因为α，β为锐角，3sin 5α=，12cos 13β=，所以4cos 5α=，5sin 13β=.所以3tan 4α=，5tan 12β=. 所以()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-⋅5633.故选：A.（2）（2020·上海）()()()()1tan11tan 21tan31tan 44︒︒︒︒++++的值为（ ）． A ．222B ．232C ．112D ．122【详解】因为()tan1tan 44tan 45tan 14411tan1tan 44+=+==-，所以tan1tan 441tan1tan 44+=-，所以()()1tan11tan 441tan1tan 44tan1tan 44︒︒︒︒++=+++11tan1tan 44tan1tan 442︒=+-+=.同理：()()()()1tan 21tan 431tan31tan 42︒︒︒︒++=++()()1tan 221tan 232︒︒==++=所以，()()()()1tan11tan 21tan31tan 44︒︒︒︒++++13181322322518()44ππααββ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭()()()tan tan 34tan tan 44221tan tan 4παββππααββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭()()()()()()1tan11tan 441tan 21tan 431tan 221tan 23︒︒︒︒︒︒⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⋅++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦222=.故选：A.四、二倍角公式的应用sin 2sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-；221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+== 例4．（1）（2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试）已知cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．45B ．25C ．45±D ．25±【详解】cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,24cos 2=2cos 1245ππαα⎛⎫⎛⎫∴++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即4sin 25α-=-, 所以4sin 25α=.故选:A . （2）.（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中高一期末（文））已知tan 34πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．34-B ．43-C ．34D ．43【详解】tantan 1tan 4tan 341tan 1tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，解得1tan 2α=， 因此，22122tan 42tan 21tan 3112ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D 【变式训练】（1）（2020·新疆生产建设兵团第五师高级中学高一开学考试）已知α是锐角，1sin 233πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3D ．3-【详解】设12x πα=-，则12x πα=-，则1sin 2sin 2sin 2cos 2312323x x x ππππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 02πα<<，5121212πππα∴-<-<，即51212x ππ-<<，所以，cos 0x >，21cos 22cos 13x x ∴=-=，22cos 3x ∴=，因此，cos 3x =.故选：A. （2）（2020·江西高三月考（文））已知3tan 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．817B ．817-C ．1517D ．1517-【详解】设6παθ+=，则223παθ+=，3tan tan 65παθ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，2222sin cos 2tan 15sin 22sin cos cos sin 1tan 17θθθθθθθθθ∴====-++．故选：D. 五、辅助公式的应用例5.（1）（2020·恩施清江外国语学校高二期末）函数())cos()2f x x x ππ=-+-的单调增区间为（ ） A ．5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈ B ．2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ C ．5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈ D ．2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈【详解】())cos()2f x x x ππ=-+-cos x x =-2sin()6x π=-令22262k x k πππππ-+≤-≤+，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+ 所以函数()f x 的单调递增区间为：2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈，故选：D（2）（2020·全国高三专题练习（理））已知向量()sin cos a x x x =-，()sin ,cos b x x =，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．【详解】（1）向量()sin cos a x x x =-，()sin ,cos b x x =，()()222sin cos cos cos sin cos f x a b x x x x x x x x∴=⋅=+-=+-2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，解不等式()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴-≤≤. 因此，函数()y f x =在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.【变式训练】（1）（2020·忻州实验中学校月考）函数21()sin cos )2f x x x x =+-最小正周期为（ ） A ．2B ．1C ．2πD ．π【详解】21sin 21cos 21()sin cos )2222x x f x x x x +⎫=+-=+-⎪⎭1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，22T ππ∴==.故选：D（2）（2020·邵阳市第二中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈，0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 三、课后训练1．（2020·莆田第七中学高二期中）sin 45cos15cos 45sin15⋅+⋅的值为（ ）A ．B ．12-C ．12D ．2【详解】3sin 45cos15cos 45sin15sin(4515)sin 60⋅+⋅=+==，故选：D.2.（2020·蚌埠第一中学高三期中）已知sin α=，()sin 10αβ-=-，,αβ均为锐角，角β等于（ ）A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6【详解】因为,αβ均为锐角，所以22ππαβ-<-<.又()sin αβ-=，所以()cos αβ-=.又sin α=，所以cos α=. 所以()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦=5105102⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭.所以π4β=.故选：C . 3．（2020·全国高二）已知α、β为锐角，3cos 5α=，()1tan 3βα-=，则tan β=（ ） A ．139B ．913C ．3D ．13【详解】α为锐角，则24sin 1cos 5αα，所以，sin 4tan cos 3ααα==， ()()()14tan tan 33tan tan 3141tan tan 133βααββααβαα+-+∴=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯.故选：C. 4.（2020·广西桂林十八中高三月考（文））已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ）A ．23B ．29C ．13-D ．49-【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=， 所以221cos22cos1133αα=-=-=-.故选：C. 5．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）计算sin15sin30sin75的值等于（）AB C ．18D ．14【详解】原式111sin15cos15sin30248===．故选C 6．（2021·全国高三专题练习）要得到函数2sin 2y x x =+-2sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位【详解】依题意2ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C.7．（2020·邵阳市第二中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C.8.（2020·杭州市西湖高级中学高一月考）在ABC ∆中，若()sin sin sin 2A B C C +-=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【详解】()sin sin sin 2A B C C +-=，()()sin sin sin 2B C B C C ∴++-=，化简得sin cos sin cos B C C C =，即()cos sin sin 0C B C -=.cos 0C ∴=或sin sin 0B C -=，即2C π=或b c =.因此，ABC ∆为等腰三角形或直角三角形.故选：D.9．（2019·河北邢台市·邢台一中高一期末）已知()tan αβ1+=，()tan αβ7-=，则tan2β=______．【详解】()()()()()()tan tan 173tan2tan 1tan tan 1174αβαββαβαβαβαβ+---⎡⎤=+--===-⎣⎦++-+⨯,故答案为34- 10.（2020·浙江高一单元测试）已知15sin 17α=，5cos 13β=-，且 ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos()αβ+，sin()αβ-.【详解】∵15sin 17α=，∴ 8cos 17α==±，∵ ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ 8cos 17α=-，∵ 5cos 13β=-，∴ 12sin 13β==±，∵ ,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ 12sin 13β=， ∴ 851512cos()cos cos sin sin ()140()17131713221αβαβαβ+=-=-⨯---⨯=； 155812sin()sin cos cos sin ()()1713121227113αβαβαβ-=-=⨯---⨯=. 11．（2020·长沙市·湖南师大附中高二月考）设函数()ππsin sin 62f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<，已知π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在区间π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【详解】（1）因为()ππ1sin sin sin cos cos 6222f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3cos 223f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以0663f πππω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,63k k Z ππωπ-=∈， 所以62,k k Z ω=+∈，又03ω<<，所以2ω=，所以22T ππ==；（2）因为()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向左平移π4个单位可得()4312g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为π3π,44x ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦，所以π2π,1233x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()min 332g x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时4πx =-， 所以()g x 的最小值为32-.12．（2020·天津南开区·南开中学高三月考）已知函数2()sin cos cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若α为锐角且7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，β满足()3cos 5αβ-=，求sin β．【详解】（Ⅰ）()22sin cos 22f x x x x x =-+1sin 2cos 222x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以()f x 的最小正周期T π=，令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得51212x k k ππππ-+≤≤，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得7sin 2cos 21229f ππααα⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 227cos 22cos 112sin 9ααα=-=-=-因为α为锐角，所以1cos 3α=，sin 3α=， 又因为()3cos 5αβ-=，所以()4sin 5αβ-=±，所以()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=⋅--⋅-=⎡⎤⎣⎦。