三角恒等变换 一、知识点：（一）公式回顾：二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍，3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。

因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。

凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。

（二）公式的变式合一公式：二典例剖析：基础题型 ()）（简记：βαβαβαβα±=±C .sin sin cos cos cos ()）（简记：βαβαβαβα±±=±S .sin cos cos sin sin ()βαβαβαβα±±=±T 简记：,tan tan tan tan )tan( 1αααππαππαααααααααα222222242122222T k k C S 简记）且简记，简记,(tan tan tan ,sin cos cos cos sin sin +≠+≠-=-==ααααα222221122sin cos sin cos cos -=-=-=2)cos (sin 2sin 1ααα±=±αααα22sin 22cos 1cos 22cos 1=-=+22cos 1sin 22cos 1cos 22αααα-=+=2cos 12sin 2cos 12cos αααα-±=+±=αααααcos 1cos 12cos 2sin 2tan +-±==.2所在的象限，注意讨论号，取决于公式前的α±αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=a b x b a x b a b x b a a b a x b x a =++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+ϕϕtan )sin(cos sin cos sin 22222222其中题型一：公式的简单运用例1:题型二：公式的逆向运用例2:题型三：升降幂功能与平方功能的应用例3.提高题型：题型一：合一变换例1方法：角不同的时候，能合一变换吗？.cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(;sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式：πθθθθθθθθαα<<=+--+-++-+-︒+-︒+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,24,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα︒︒⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛---︒-︒-︒︒︒72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212cos 312sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角︒++︒+=-++-x x y θθθππ方法：1.转化为与圆有关的最值2.合一变换+有界性3.万能公式换元为二次分式题型2：角的变换（1）把要求的角用已知角表示例2方法：1、想想常见的角的变换有哪些？2、求值时注意讨论研究角的范围。

证明的方法也是角的变换：把要求证的角转化为已知的角.（2）互余与互补题型3：非特殊角求值例3: .cos 22sin 23.6.)(1)3(,cos sin )(.5.)55cos(2)10sin(2.4的值域求函数的取值范围时，求的最小值为且当的值时的及取得最大值和最小值的最大值和最小值，以求函数x x y k k x f f x b x a x f x x x y +-==+=︒++︒+=π.2cos ,20,2,322sin ,912cos ][.2cos ,1312)cos(,53)sin(,432.2.cos ,31)tan(,54cos ,,][.cos ,2921)cos(,178sin ,.1βαπβπαπβαβαββαβαπαβπββααβαββααβα+<<<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=+<<<-=-==-=求且已知类似题的值求已知的值求为锐角类似题的值求为锐角，已知.2tan 5)22tan(2),sin(3sin 7][).tan(3tan ,sin 2)2sin(.4).sin(,13543sin 534cos 4,043,4][).sin(,43,4,4,0,131245sin ,534cos .3ββαβααβααββαβαβπαππβππαβαππαπββπαπ=++=+=-=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-求证：已知类似题求证：已知求，，，已知类似题求且x x x x x x x x m x tan 1sin 22sin 47127,534cos 4.2sin ,534sin .33cot 316tan 3.2.______42sin ,cos .12-+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求且已知求已知化简：则已知ππππαπαππx x x 2,4,4-+ππ 方法： 善于发现补角和余角解题，关注 三者关系︒+︒-----︒-︒︒︒-︒︒︒+︒-----︒︒-︒50cos 350sin 1][;10cos 310sin 1.2 sin8sin15cos7sin8cos15sin7][;20cos 20sin 10cos 2.1类似题类似题8cos 12sin ][;12tan 18tan .322ππππ---------+类似题方发：(1)减少非特殊角的数量；(2) 注意“倍”、“半”。

题型4：式的变换 1、tan(α±β)公式的变用例4:2、齐次式[]︒⋅︒+︒+︒︒⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒︒-︒︒-︒︒+︒︒-︒︒-︒80sin 2)10tan 31(10sin 50sin 2.820cos 110cos 380cos 175tan 5cot 10sin 20sin 220cos 1650sin 10cos )310tan 570sin 2170sin 214222.)(..(.)4(tan tan 1tan 1)4(tan tan 1tan 1)tan tan 1)((tan tan tan θπθθθπθθβαβαβα+=-+-=+-±=± ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅++++---︒⋅︒+︒+︒︒⋅︒+︒+︒------⋅++)6tan()6tan(3)6tan()6tan(][42tan 18tan 342tan 18tan .2114tan 111tan 114tan 111tan ][;6tan 12tan 6tan 12.1x x x x ππππππππ类似题类似题化简：[)24tan()42tan(.6)12tan()18tan(3)12tan()18tan(.5)45tan 1)(44tan 1()2tan 1)(1tan 1.(420tan 10tan 10tan 60tan 60tan 20tan 3.x x x x x x --++︒+-︒++︒-︒︒+︒+︒+︒+︒︒+︒︒+︒︒ππ 为什么？则可推广：由,2)tan 1)(tan 1(,45=++=+βαπβα.)(cos 3)sin()cos()(sin )2()tan()1(:.0156tan ,tan .212cos 12sin 1212.1222的值的值；求的两个实数根是方程已知βαβαβαβαβαβαππππ+-++-++=+-+x x3、“1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方）4、两式相加减，平方相加减5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）题型5：函数名的变换例5:απαπ±±23,2要点：(1)切化弦；(2)正余互化 .2cos 2sin ,0,31cos sin .32cos 2sin 12cos 2sin 1)2(;2cos 2sin 12cos 2sin 1)1(.2cos 1)2(;sin 1)1(.1x x x x x 和求已知化简：化简下列各式：πθθθθθθθθαα<<=+--+-++-+--.tan tan ,31)sin(,21)sin(][.tan tan ,53)cos(,51)cos(.2).cos(,0cos cos cos ,0sin sin sin ]2[).sin(,31cos sin ,21sin cos ]1[).cos(,54cos cos ,53sin sin .1的值求已知类似题的值求已知求已知类似题求已知类似题求已知βαβαβαβαβαβαβαγβαγβαβαβαβαβαβαβα=-=+=-=+-=++=++-=-=+-=+=+.ABC 3,2,45,ABC ][.AB ,3AB )2(B tan 2A tan )1(,51)B A sin(,53)B A sin(,ABC )2004.(3的面积的两部分，求分成边上的高把中类似题边上的高求若求证：中锐角全国∆==︒=∠∆===-=+∆DC BD BC BC BAC nx x x 2cos 4cos 2cos ][115cos 114cos 113cos 112cos 11cos .378sin 66sin 42sin 6sin ][70sin 50sin 30sin 10sin .272cos 36cos .1 类似题类似题求值：------︒︒︒︒----------︒︒︒︒︒︒πππππ).cos()2();cos()1(,35)sin(,713tan tan ,.4).tan 2tan 1(2sin .3)4(sin )4tan(21cos 2.2)(cos ,)14sin()(sin ,,)2(17sin )(sin ,17cos )(cos )1.(122βαβαβαβαβαθθθαπαπα+-=-=⋅+----------+--+=∈∈==求且满足若锐角化简化简求且求证：若x f x n x f Z n R x x x f x x f题型6：给值求角 要点：先确定角的范围（尽可能缩小），再选择恰当的函数例6:题型7：化简与证明方法：上述7类常见方法思路：变同角，变同名，变同次例7:题型8：综合应用例8:.,81tan ,51tan ,21tan ,,,.2.,1010sin ,55sin ,,][.,1010sin ,552cos ,,.1γβαγβαγβαβαβαβαβαβαβα++===+==+==求为锐角的值求且为钝角已知类似题的值求为锐角.2,,02sin 22sin 3,1sin 2sin 3.4.,2tan 12tan 4),2sin(sin 3,40,40][.2),,0(),,0(,71tan ,21)tan(.3222βαβαβαβαβαααβαβπβπαβαπβπαββα+=-=++-=+=<<<<-∈∈-==-为锐角，求已知的值求且已知类似题的值求且已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⋅--+<<+-++-+++-=++=)24tan(2)24(cos 2cos 32tan 2cot sin 1.5.2cos 2cos 21cos cos sin sin .4)0(cos 22)2cos 2)(sin cos sin 1(.3cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1.22tan 522tan 2),sin(3sin 7.122222απαπααααβαβαβαπααααααθθθθθθθθββαβαα＋化简：化简＋＋＋＋化简：求证：已知得到？的图象经过怎样的变换的图象可以由函数函数区间；的最小正周期和单调增求函数若函数福建的集合取得最大值的求使函数的最小正周期；求函数已知函数的值，求为上最大值与最小值之和，在若已知函数的值域求的最小正周期；求设x y x f x f x x x x x f x x f x f R x x x x f a x f a x x x x f x f x f x x x x x f 2sin )()2()()1(.cos 2cos sin 3sin )()06.(4.)()2()()1(.,12sin 262sin 3)(.3.336)(,cos sin 32cos 2)(.2.)()2()()1.(cot tan 2cos 2sin )(.12222=++=∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=++=ππππ总结：一、S α±β、 C α±β公式的逆向运用➢ （1）变角，以符合公式的形式 （2）合一变换二、角的变换➢ 1、变换角：要点：（1）把要求的角用已知角表示；（2）注意角的范围 ➢ 2、互余与互补三、非特殊角求值➢ 方向：（1）减少非特殊角的个数 （2）关注倍、半角关系（3）利用一些特殊的数值四、式的变换➢ 1、tan(α±β)公式的变用➢ 2、齐次式➢ 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方）➢ 4、两式相加减，平方相加减➢ 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）五、函数名的变换➢ 要点：（1）切割化弦；（2）正余互化六、倍、半角公式的功能➢ （1）升降幂功能，（2）平方功能（ 1±sin α, 1±cos α）七、给值求角问题➢ 要点：（1）先确定角的范围（尽可能缩小），（2）选择恰当的函数八、化简与证明问题➢ 思路：变同角，变同名，变同次补充公式（了解）[][][][])cos()cos(21sin sin )cos()cos(21cos cos )sin()sin(21sin cos )sin()sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=2sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin ϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθ-+-=--+=+-+=--+=+ααααααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=.2tan 12tan 2tan .2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos cos .2tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 222222222222ααααααααααααααααααααα-=+-=+-=-=+=+==。