第二章 习题2.1. 用八进制系统传输单词“HOW ”（a ）用7比特ACSII 码将单词“HOW ”编码为一比特序列，每个字符的第8位为检错位，它使8比特中1的总数为偶数。

试问该消息中共有几个比特？（b ）将比特流每3个比特分为1组，每组用1个八进制数（码元）表示。

试问该消息中共有几个八进制码元？（c ）若采用16进制系统，表示单词“HOW ”共需要几个码元？ （d ）若采用256进制系统，表示单词“HOW ”共需要几个码元？ (a) H0001001014243O1111001114243W1110101114243共24bit(b) {0000{4100{5101{7111{1001{7111{5101{3011共8个二进制码元(c)2464/bitssymbol bits symbol=(d)2483/bitssymbol bits symbol=2.2. 用M =16的多电平PAM 波形每秒传输800字符，本题中字符的定义与2.1题中相同，每个字符都由7位数据位加1位检错位组成。

（a ）比特传输速率为多少？ （b ）码元速率又为多少？(a) 800/8/6400/char s bits char bits s ⨯= (b)6400/1600/4/bits ssymbol s bits symbol=2.3. 用M =32的多电平PAM 波形在2秒内传输由文字与数字组成的100个字符的消息，本题中字符的定义与2.1题中相同，每个字符都由7位数据位加1位检错位组成。

（a ）计算比特传输速率与码元速率。

（b ）分别对16电平PAM 、8电平PAM 、4电平PAM 和PCM （二进制）波形重复计算（a ）。

(a) 100/28/400/char s bits char bits s ⨯=400/80/5/bits ssymbol s bits symbol=(b)16-level PCM ：400/,100/bits s symbol s 8-level PCM ：400/,133.3/bits s symbol s 4-level PCM ：400/,200/bits s symbol s 2-level PCM ：400/,400/bits s symbol s2.4. 对某模拟波形以奈奎斯特频率f s 进行自然抽样，试证明用图P2.1所示的恢复技术可由样值恢复原波形（与原波形成正比），参数mf s 为本振频率，m 为正整数。

图P2.1201()()()(){}(){2cos(2)}s j nf t s p n n n s n x t x t x t x t c e x t c c nf t ππ∞=-∞∞====+∑∑1012()()cos(2)cos(2)()2cos(2)cos(2)2cos (2)s s s n s s n n mm s x t x t mf t c mf t x t c nf t mf t c mf t πππππ∞=≠=⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎪⎪+⎪⎪⎭⎩∑ 通过低通滤波器后，0cos(2)s c mf t π、12cos(2)cos(2)ns s n n mcnf t mf t ππ∞=≠∑被滤除。

011()()2(cos(4)()22m s m x t x t c mf t c x t π=+=2.5. 对某模拟信号以奈奎斯特频率1/T s 进行抽样，并用L 个电平对样值进行量化，然后将所得数字信号在某信道中传输。

（a ） 试证明传输的二进制编码信号的比特周期T 必须满足T ≤T s /(log 2L )。

（b ）等号何时成立？(a)L 个量化电平至少需要2log L 个比特，s T 秒内至少需要2log L 个比特，因此，每比特的时间间隔T ：2log sT T L≤。

(b)当L 是2的正整数幂的时候等号成立。

2.6. 给定PCM 码中每个样值的比特数分别为（a ）5；（b ）8；（c ）x 时，求各自所需要的量化电平数。

？ (a) 5232=(b) 82256= (c) 2x2.7. 试确定能够完全重构信号x (t )=sin(6280t )/(6280t )所需的最低抽样速率。

sin()sin(6280)2()62802Wt t x t Wt t==其中，26280,10002W f rad f Hz π===1,||1000()0,f HzX f W⎧≤⎪=⎨⎪⎩其他，1000m f Hz =，故最小采样率22000/s m f f sample s == 2.8. 某音频信号的频谱在300Hz 到3300Hz 之间，对其进行抽样以生成PCM 信号，抽样速率为每秒8000个样值，假设输出端所需的峰值信号功率与平均量化噪声功率的比值为30dB 。

（a ）均匀量化最少需要几个电平？每个样值最少需要几个比特？ （b ）计算检测该PCM 信号所需的系统带宽（由信号频谱的主瓣确定） （a ） ()g SN=32L ≥30dB 1010log (32L )≥30dB L=[18,26]=19所以量化数到最小值为l =[2log (L )]=[2log (19)]=5bits/sample（b ）b T =s T l =1s lf =15(8000)=25us 一个bit 的时间周期为b T 的数据需要的带宽W 为： W=1b T =125us=40kHz2.9. 对波形x (t )=10cos (1000t +π/3)+20cos(2000t +π/6)进行均匀抽样以便数字传输。

（a ）为能完全重建该信号，求各个抽样点间的最大时间间隔。

（b ）要重建1小时的波形，需要存储多少样值？ (a) 2m m w f π==20002000/2318.3m f Hz π== 2636.6s m f f ≥= samples/s 1s sT f =≤0.00157 s (b)636.6 samples/s*3600s=2.29*610 samples2.10.（a ）对带限为50kHz 的波形抽样，抽样间隔为10μs ，试绘图说明由这些抽样点可唯一确定原波形（为简单起见，可选用正弦函数，不要在原波形的零点处抽样）。

（b ）抽样间隔改为30μs ，试绘图说明由这些抽样点恢复的波形与原波形不同。

(a)0f =50kHz; 012s T f ==10usreconducted waveform(重建、重载)波形的周期是6s T ，所以，16sf T ==16.67 kHz ≠50 kHz2.11. 对波形x (t )=cos2πf 0 t 进行欠抽样，抽样速率为f s =1.5f 0，利用卷积性质绘图说明欠抽样的影响。

001()[()()]X f f f f f δδ=-++0f -0f fsf -0s f f -f2s f -2sf02s f f -0s f f +0f 03s f f -0s f f -+0f -02s f f -+0s f f --03s f f -+2.12. 已经知道当抽样速率大于信号带宽的2倍时不会有混叠现象，但实际上严格带限的信号是不存在的，因此混叠总是不可避免的。

（a ）设某个滤波后的信号，其频谱由截止频率为f u =1000Hz 的6阶巴特沃滋滤波器描述，试求将功率谱中的混叠控制在-50dB 内所需的抽样速率。

（b ）巴特沃滋滤波器为12阶时，重复（a ）。

(a) 由式子（1.65）可知：221|()|1(/)nu H f f f =+对于一个6阶巴待沃思滤波器，由给出条件可知：5121101(/1000)f -=+ 求的f =2610 Hz ，因此采样率的最小值为：5220 samples/s（b ）由式子（1.65）可以求出，对于一个12阶的巴待沃思滤波滤波器及给定的采样要求，求出f =1616 Hz 。

因此采样率至少为3232 samples/s2.13.（a ）用草图画出μ=10时的压缩特性曲线，说明它可以处理-5到+5V 间的输入电压。

（b ）画出相应的扩展特性曲线。

（c ）画出对应于μ=10时压缩特性曲线的16电平非均匀量化器特性。

（a ）μ=10时的压缩特性曲线。

（b ）μ=10时的扩展特性曲线。

（c ）对应于μ=10时压缩特性曲线的16电平非均匀量化器特性。

2.14. 某模拟波形最高频率为f m =4000Hz ，用16电平PAM 系统传输，量化失真不超过模拟波形电压峰-峰值的±1％。

（a ）该PAM 传输系统中，每个样值或PCM 码字最少需要几个比特？ （b ）求最低抽样速率及相应的比特速率。

（c ）求16进制PAM 系统的码元传输速率。

（a ）5002.0121==≥P L 电平 ⎡⎤650log 2==l 比特 / 样值（b ）最低采样速率8000400022=⨯==ffms赫兹比特速率：4800068000=⨯=R 比特 / 秒 （c ）由多电平脉冲162==kM 得，1个码元有 k=4 比特组成。

码元传输速率：12000448000log 2===MRRS码元 / 秒 2.15. 对频率为300Hz 到3300Hz ，峰-峰电压不超过10V 的信号进行抽样，抽样速率为每秒8000个抽样点，然后用64个均匀的电平对样值进行量化。

在用二进制脉冲和四进制脉冲传输抽样量化值的情况下，分别计算系统带宽和峰值信号功率与量化噪声均方根的比值，并进行比较。

设系统带宽由信号频谱的主瓣确定。

用二进制脉冲的情况：4800068000=⨯=R 比特 / 秒 480001===R W Tb赫兹()dB L N S q4112288336422≅===⎪⎭⎫ ⎝⎛用四进制脉冲的情况：24000248000==R S 样值 / 秒240001===R S TW 赫兹dB N S q41≅⎪⎭⎫ ⎝⎛，同采用二进制脉冲的情况得到的结果相同。

2.16. CD 数字音频系统中，将模拟信号数字化，以使峰值信号功率与峰值量化噪声功率的比值至少为96dB ，抽样速率为每秒44.1k 个抽样点。

（a ）要使S/N q =96dB ，需要多少量化电平？（b ）在（a ）中求得的量化电平下，每个样值需要几个比特？ （c ）数据速率为多少？ （a ）假设量化电平L 是等间距且关于零对称。

最大可能的量化噪声电压等于两个相邻区间的电压q 的1/2，同样，峰值量化噪声功率，Nq ，可以表示成（q/2）2。

峰值信号功率，S ，可以表示成（Vpp/2）2，其中Vpp=Vp-（-Vp ）是峰—峰信号电压，Vp 是峰值电压。

因为在量化电平L 和（L-1）的区间（每个区间相应的为q 伏特），我们可以得到：()()()[]()L qL q q L q q V N S pp q peak222222224422122=≈==-⎪⎪⎭⎫⎝⎛所以，我们要计算有多少量化电平，L ，才能得到（S/Nq ）peak =96 d B 。