第十八章 光的衍射（光的衍射___绕过障碍物传播 “绕弯”___且产生明暗相间条纹）18-1 单缝衍射一 惠更斯–菲涅耳原理 1、光的衍射现象光作为一种电磁波，在传播过程中若遇到尺寸比光的波长小或差不多的障碍物时， 它就不再遵循直线传播的规律，而会传到障碍物的阴影区并形成明暗相间的条纹， 这就是光的衍射现象。

2、惠更斯—菲涅耳原理：从同一波阵面上各点发出的子波，在传播到空间某点时，各个子波间也可以相互叠 加而产生干涉现象。

4、光衍射的分类：—— 夫朗和费衍射：光源到障碍物及障碍物到屏距离为无限远。

—— 菲涅尔衍射: 光源到障碍物或障碍物到屏距离为有限远。

二 单缝夫朗和费衍射（入射光和衍射光均视为平行光，常用凸透镜实现无限远） 1、菲涅尔半波带法（直观简洁）AB 缝端光程差（或最大光程差），等于：θδsin a AC == (18-3) 沿AC 方向，每过2/λ作一个垂面,这些垂面将单缝波阵面分成N 份:λθλδsin 22/a N == （18-4） 每一份是一个狭长的带——称为半波带 （图中三个半波带：1BB 、21B B 和A B 2） 结论：两相邻半波带对应点的子波—在P 点光程差为2/λ—-- 干涉相消。

如果偶数个半波带，则合振幅为零，P 点为暗纹中心。

如果奇数个半波带，则剩余一个半波带子波合成较大光振动——明纹中心。

(随θ变化，必有偶数和奇数个半波带出现) 2、 单缝衍射的明、暗纹条件： 1）屏上出现k 级中心条件： 如果半波带数满足：⎩⎨⎧±+±==k2)1k 2(sin a 2Nλθ（k=1、2、3……） 或缝端光程差 2)12(sin ⎪⎩⎪⎨⎧±+±=λλθk k a （18-6）则，屏上出现k 级中心。

(注意：不论明纹、暗纹，都不取K=0，为什么？)2） 屏上k 级暗纹明纹中心的角位置（衍射角）：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±+±=≈a k a 2)1k 2(sin k k λλθθ ( k=1、2、3……）（18-7） 3） 屏上k 级暗纹明纹中心的线位置（P 相对于屏中心的位置）：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±+±=≈=a f k a2f )1k 2(sin f tan f x k k k λλθθ（ k=1、2、3…… ）（18-8）—— k 称为衍射条纹的级次；f 为凸透镜的焦距。

4）小角度近似条件： θθθtan sin ≈≈5） 光强按θsin 的分布曲线如图（两个一级暗纹中心间为中央明纹—0级明纹）* 中央明纹的角位置：λθλ≤≤-sin a （18-9） * 中央明纹的线位置：af x a f λλ≤≤- （18-10） （宽度为次级条纹的两倍！） 3、单缝衍射条纹的特征： 1） 亮度分布中央明纹最亮，各级明纹的亮度随着级数的增大而减弱。

（因为衍射角θ越大，分成的波带数就越大，每个波带提供光能的面积就越小…） 2） 条纹宽度相邻暗纹中心间距定义为明纹宽度。

则明纹线宽度为λ∆afx x x 1k k =-=- (18-11) (中央明纹线宽度为x 2∆)3） 条纹位置和宽度与缝宽和波长的关系 与缝宽成反比，与入射波波长成正比。

表示: 缝愈窄—条纹位置离中心愈远，条纹排列愈疏-衍射好。

缝愈宽—衍射愈差 （当缝宽大到一定程度，衍射现象消失） 4）白光入射中央明纹白色—其他明纹由紫到红的顺序彩色条纹——单缝衍射光谱。

18-2圆孔衍射 光学仪器分辨本领圆孔衍射: 通过圆孔产生的衍射现象（小圆孔代替狭缝）。

(光学仪器由若干透镜组成，相当于圆孔，通过圆孔时产生衍射) 一 圆孔的夫朗和费衍射 1、现象及规律 1）现象小圆孔—单色平行光垂直照射圆孔—透镜—屏幕—环形衍射斑 —中央亮斑或爱里斑（光强84%）—外围一组同心暗环和明环 2）规律通过计算可得（证明从略）第一级暗环衍射角θ1满足D22.1sin 1λθ=式中：D 为圆孔的直径，爱里斑的角半径__衍射角θ1 若透镜焦距f 较大，此角很小，故：D22.1sin 11λθθ=≈ （18-12）可知爱里斑半径d 为：f Df d λθ22.1tan 1==（上式看出：衍射孔D 愈大，爱里斑愈小；光波波长λ愈短，爱里斑也愈小） 二 光学仪器的分辨本领光学仪器观察—放大能力—分辨本领—放大清晰可见 两个物点距离太近—光的衍射限制了光学仪器分辨本领。

1、 瑞利准则：如果一个爱里斑中心（光强最大，设为I 0）正好和另一个爱里斑第一级暗环重叠， 重叠部分的中心光强I=0.8I 0 ，这时恰好能辨别出这是两个物点的象。

两物点恰能分辨时，两爱里斑中心距离是爱里斑的半径d 。

Dfd λθθδθ22.1sin tan 11====因此，两相邻物点最小分辨角等于爱里斑的角半径:D22.11λθδθ==（18-13）光学仪器的分辨率为:λδθ22.11DR ==（18-14）（表明：分辨率大小与仪器的孔径D 成正比，与入射光波波长成反比）例如：天文望远镜用大口径物镜提高分辨率（直径8m ）。

电子显微镜用波长短的射线提高分辨率（几十万伏高压产生电子波，波长约为10–3nm ），可对分子、原子的结构进行观察。

18-3 光栅衍射（双缝干涉和单缝衍射因条纹间距太小，亮度很暗，不易观测）平面透射光栅：由一系列平行、等宽又等间隔的狭缝排列构成（栅栏式）。

它能获得间距较大、极细极亮的衍射条纹，便于精密测量。

a --- 透光部分的宽度—-光栅缝宽，b -—-不透光部分宽度，b a d += —- 光栅常数（可达微米的数量极）如：在1㎝宽玻璃片上刻痕为1千条，则光栅常数m cm b a 51010001-==+， 一般d 约为10-5 --- 10-6m 的数量级。

一 光栅方程当平行光垂直入射光栅，各缝发出各自单缝衍射光，沿衍射角θ方向通过透镜会聚到焦平面观察屏P __多光束干涉__光栅衍射__单缝衍射和多缝干涉的总效果。

光栅方程:相邻两缝衍射光在P 点光程差为：θδsin )b a (+=光栅衍射主极大（主明纹）满足条件： λθk b a ±=+sin )( （ ,2,1,0k =） (18-15)—-- 光栅方程二 光栅衍射光强的分布特点 1、 k 级主极大的角位置: 从光栅方程可知:ba k sin k +±=λθ （18-16）注意：光栅常数b a +可达到m μ数量级，由于波长也是m μ量级，所以主极大的衍射角不一定很小（可达o30、o 60）说明：* 光栅可实现大角度衍射，光栅衍射条纹的间距大，易于实现精密测量。

* 光栅衍射条纹的级次往往有限，光栅衍射主极大的最高级次：λb a k +≤（18-17）例如：某光栅每毫米有一千条缝，则m 1ba μ=+，若光波长nm 600=λ，则屏上只能出现0和1±级共三条明纹。

* 计算时不能如同双缝和单缝那样认为有θθθtan sin ==。

* 条纹之间也不一定是等间距分布，要具体分析。

2、光栅衍射光强主要集中在主极大，次级明纹光强很弱（暗区） 1）光栅暗纹的条件各狭缝所射出的光都由于自身的衍射而抵消，形成暗条纹λθk a ±=s i n,......)3,2,1(=k由于N 条狭缝所发出的光的干涉而形成暗条纹λθk b a N '±=+s i n )( ) ...不包括N，2N...,......3,2,1(='k可见：在光栅两个主极大明纹间有1-N 个暗纹，还有2N -个光强很弱的次级明纹， 通常光栅缝数N 很大，次级明纹很多，实际上形成一片黑暗的背景，光栅的暗区特别宽。

3．单缝衍射调制下的多缝干涉光强分布可证明在屏上形成的光强分布是单缝衍射调制下多缝干涉光强分布。

（图：四缝光栅的光强分布曲线）(a ) 单缝衍射 (b ) 多缝干涉 (c ) 光栅衍射三 缺级现象 1、 缺级现象：当多光束干涉某一级主极大位置恰好落在单缝衍射暗纹中心处， 这一级主极大将在屏上消失，称为缺级。

2、缺级条件：由单缝衍射的极小条件λθk a '=sin 多缝干涉的主极大条件λθk sin )b a (=+两式相除得：k ka b a '=+ （18-18） 即若ab a +为整数比k k'时，发生缺级---缺级条件(多缝干涉k 级主极大恰为单缝衍射'k 级暗纹位置，k 级主极大将不出现)如果k k a b a '=+，则必有......3322='='=+kk k k a b a ，即此时k,2k,3k ……这些级次的主极大都将缺级。

例如：12a b a =+时，2、4、6、8…… 等级次的主极大不再出现，发生缺级。

2313a b a 或=+时，3、6、9、12…… 等级次的主极大出现缺级。

18-4 X 射线衍射X 射线__伦琴射线(伦琴—1895年—1901年诺贝尔物理学奖):一．x 射线的产生方法和特点1、x 射线产生的方法:由高压加速电子撞击金属阳极时辐射出一种射线。

2、x 射线特点: 1）x 射线具有很高的穿透本领。

2）x 射线也是一种电磁波，波长在0.01nm 到10nm 间，与原子尺度相近。

二、x 射线衍射的劳厄实验（x 射线既是电磁波就应该有干涉和衍射现象，当时使用衍射光栅常数远远大于X 射 线波长，不可能观察衍射现象） 1、劳厄实验原理晶体空间点阵：原子、分子或离子有着规则的、周期性的空间排列---天然光栅。

（粒子间距级小，约为0.1nm 数量级） 用下面装置来观察x 射线衍射 2、劳厄斑点穿过铅板小孔X 射线投射晶体薄片，后面放一张照相底片，经过暴光，底片上显现许多规则排列的斑点。

它说明在某些确定方向上x 射线干涉加强，在照相底片上感光形成斑点，在其它方向上，干涉减弱，不出现x 射线。

三、晶体衍射的布喇格公式把晶体看成是由一系列彼此相互平行的原子(或分子、离子等)层重叠所组成的。

当x 射线照在原子上，按惠更斯原理，这些原子就成为子波波源，向名方向发出子波。

1、布喇格公式推导：d — 晶格常数，θ—掠射角(入射波与晶面夹角), ϕ—散射波与晶面夹角看同一晶面组中同一层晶面：相邻两点散射线间的光程差为：)cos (cos ϕθδ-=-=h BC AD看同一个晶面组中相邻两个晶面：相邻两个晶面上的反射光的光程差为θδsin d 2CB AC =+=（考虑到X 射线在介质中几乎不发生偏转，取折射率1n =）如果光程差满足干涉加强的条件：λθδk sin d 2== （ k = 1,2,3……）(18-19)———— 布拉格公式。