26．（本题满分10分）已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分）（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）；（5分）26．解：（1）如图①，过点G 作GM BC ⊥于M .1分） 在正方形EFGH 中， 90,HEF EH EF ∠==. （1分） 又∵90A B ∠=∠=， ∴⊿AHE ≌⊿BEF …………………………………………………………（1分）同理可证：⊿MFG ≌⊿BEF . …………………………………………………………（1分）∴GM=BF=AE =2.∴FC=BC-BF =10. …………………………………………………………（1分） （2）如图②，过点G 作GM BC ⊥于M .连接HF . …………………………………………（1分）.AHE MFG ∴∠=∠ …………………………………………………（1分）又90,,A GMF EH GF ∠=∠==∴⊿AHE ≌⊿MFG . ………………………………………………………（1分）∴GM=AE =2. ……………………………………………………………（1分）C B (第26题图2) F G11(12)12.22GFC S FC GM a a ∴=⋅=-=- …………………………………………（1分）如图，直线y =+与x 轴相交于点A，与直线y =相交于点P .(1) 求点P 的坐标.(2) 请判断△OPA 的形状并说明理由.(3) 动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A →→的路线向点A 匀速运动（E不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF x ⊥轴于F ，EB y ⊥轴于B .设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S .求S 与t 之间的函数关系式.解：（1）y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得：2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩………………………1′ ∴ 点P 的坐标为（2， ………………………1′（2）当0y =时，4x = ∴点A 的坐标为（4，0） ………………………1′∵4OP ==4PA == ……………1′∴ OA OP PA ==∴POA 是等边三角形 ………………………1′（3）当0＜t ≤4时， ………………………1′21328S OF EF == ………………………1′ 当4＜t ＜8时， ………………………1′28S =-+-………………………1′ 25、（本题8分）已知直角坐标平面上点A ()0,2，P 是函数()0>=x x y 图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q （如图）.（1）试证明：AP =PQ ；（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；（3）当APQ AOQ S S ∆∆=32时，求点P 的坐标.证：（作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为H 、T ， ∵点P 在函数x y =()0>x 的图像上， ∴PH =PT ，PH ⊥PT ，（1分） 又∵AP ⊥PQ ， ∴∠APH =∠QPT ，又∠PHA =∠PTQ ，∴⊿PHA ≌⊿PTQ ,------------------------------------------------------（1分）∴AP =PQ . ---------------------------------------------------------------（1分）(2)22-=a b . -------------------------------------------------------------（2分）（3）由（1）、（2）知，2221-=⨯=∆a OQ OA S AOQ ，222122+-==∆a a AP S APQ ，------------（1分） ∴()2232222+-=-a a a ， 解得255±=a ，--------------------------------------------------------（1分）所以点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255,255与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++255,255.---（1分）]26．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ，（1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系？并证明；（2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并证明．26．（1）解：AF =DE 211 分） 证明如下：联结BD 交AC 于点O ，…………………………………………………（1 分）∵四边形ABCD 是正方形，∴BO =DO ，∵BF =EF ，∴OF =21DE ，OF //DE ．………………………………………（1 分）∵BD ⊥AC ，∴∠DEO =∠AOB =90º，…………………………………（1 分）∵∠ODA =∠OAD =︒=︒⨯459021，EA =ED ，∴∠EAD =∠EDA =45º，∴∠OAD =∠OED =∠AOD =90º，∴四边形AODE 是正方形．………………………………………………（1 分）∴OA =DE ，∴OF=21AO ，∴AF ==AO 21DE 21．………………………（1 分） （2）解：AF+BF=EF 、AF 2+EF 2=2BF 2等（只要其中一个，BF =)31(+AF 、EF =)32(+AF 、BF =（)13-EF 也认为正确）．…………………………（1 分）AF+BF=EF 的证明方法一：联结BD 交AC 于O ，在FE 上截取FG =BF ，联结DG ．与第（1）同理可证∠GDA =45º，……………………………………………（1 分） ∵四边形ABCD 是正方形，△ADE 是等边三角形，∴∠GDE =60º–45º=15º．∵AB=AD=AE ，∠BAE =∠BAC +∠DAE =90º+60º=150º，∴∠ABE =∠AEB =︒=︒-︒152150180，∴∠ABF =∠GDE ． 又∵∠DEG =∠DEA –∠AEB =60º–15º=45º=∠BAC ，DE=AD=AB ，（第26题） C B C∴△ABF ≌△EDG ，……………………………………………………………（1 分） ∴EG =AF ，∴AF+BF=EG+FG=EF ．……………………………………………（1 分）AF+BF=EF 的证明方法二（简略）：在FE 上截取FG =AF ，联结AG ．证得△AFG 为等边三角形．………………（1 分） 证得△ABF ≌△AEG ．……………………………………………………………（1 分） 证得AF+BF=EF ．………………………………………………………………（1 分）AF 2+EF 2=2BF 2的证明方法（简略）：作BG ⊥BF ，且使BG =BF ，联结CG 、FG ，证得△BGC ≌△BF A ．…………（1 分） 证得FC =FE ，FG =BE 2，……………………………………………………（1 分） 利用Rt △FCG 中，得出AF 2+EF 2=2BF 2．……………………………………（1 分）27．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题3分, 第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P 从点O 出发，在梯形OABC 的边上运动，路径为O →A →B →C ，到达点C 时停止．作直线CP.（1）求梯形OABC 的面积；（2）当直线CP 把梯形OABC 的面积分成相等的两部分时，求直线CP 的解析式；（3）当∆OCP 是等腰三角形时，请写出点P 的坐标（不要求过程，只需写出结果）27．如图已知一次函数y =－x +7与正比例函数y =x 34的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O ﹣C ﹣A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒)0( t ．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是QA=QP 的等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵一次函数y ＝－x +7与正比例函数x y 34=的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． ∴y ＝－x +7，0＝x +7，∴x ＝7，∴B 点坐标为：（7，0），----------------------------1分∵y ＝－x +7＝x 34，解得x ＝3，∴y ＝4，∴A 点坐标为：（3，4）；-------------------1分（2）①当0＜t ＜4时，PO ＝t ，PC ＝4－t ，BR ＝t ，OR ＝7－t ，--------------1分过点A 作AM ⊥x 轴于点M∵当以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8，∴S 梯形ACOB －S △ACP －S △POR －S △ARB ＝8， ∴21（AC +BO ）×CO －21AC ×CP －21PO ×RO －21AM ×BR ＝8，∴（AC +BO ）×CO －AC ×CP －PO ×RO －AM ×BR ＝16，∴（3+7）×4－3×（4－t ）－t ×（7－t ）－4t ＝16，∴t 2－8t +12＝0. -----------------1分解得t 1＝2，t 2＝6（舍去）.--------------------------------------------------------------------1分 当4≤t ≤7时，S △APR ＝21AP ×OC =2（7－t ）＝8，t=3(舍去)；--------------1分 ∴当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8；②存在．当0＜t ≤4时,直线l 与AB 相交于Q ，∵一次函数y ＝－x +7与x 轴交于B （7，0）点，与y 轴交于N （0，7）点，∴NO ＝OB ，∴∠OBN ＝∠ONB ＝45°.∵直线l ∥y 轴，∴RQ ＝RB=t ，AM=BM=4∴QB=t 2,AQ=t 224-----------------1分∵RB ＝OP ＝QR ＝t ，∴PQ//OR,PQ=OR=7-t --------------------------------------1分 ∵以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，且QP =QA ，∴7-t=t 224-，t=1-32（舍去）--------------------------------------------1分当4＜t ≤7时，直线l 与O A 相交于Q ，若QP ＝QA ，则t －4+2（t －4）＝3，解得t ＝5；---------------------------------------1分∴当t =5，存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是PQ ＝AQ 的等腰三角形．已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合）， 过点P 作 PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F .（1）当点E 落在线段CD 上时（如图10），① 求证：PB=PE ；② 在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值， 若变化，试说明理由；（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能，试求出AP 的长，如果不能，试说明理由．27．（1）① 证：过P 作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，交CD 于点N ∵正方形ABCD ，∴ PM=AM ，MN=AB ，从而 MB=PN ………………………………（2分）∴ △PMB ≌△PNE ，从而 PB=PE …………（2分）② 解：PF 的长度不会发生变化，设O 为AC 中点，联结PO ，∵正方形ABCD ， ∴ BO ⊥AC ，…………（1分）从而∠PBO =∠EPF ，……………………（1分）∴ △POB ≌△PEF ， 从而 PF=BO 22= …………（2分）（2）图略，上述（1）中的结论仍然成立；…………（1分）（1分）（3）当点E 落在线段CD 上时，∠PEC 是钝角，从而要使⊿PEC 为等腰三角形，只能EP=EC ，…………（1分）这时，PF=FC ，∴ 2==AC PC ，点P 与点A 重合，与已知不符。