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八年级数学期末难题压轴题汇总

26.(本题满分10分)已知:在矩形ABCD 中,AB =10,BC =12,四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上,AE =2.(1)如图①,当四边形EFGH 为正方形时,求△GFC 的面积;(5分)(2)如图②,当四边形EFGH 为菱形,且BF = a 时,求△GFC 的面积(用含a 的代数式表示);(5分)26.解:(1)如图①,过点G 作GM BC ⊥于M .1分) 在正方形EFGH 中, 90,HEF EH EF ∠==. (1分) 又∵90A B ∠=∠=, ∴⊿AHE ≌⊿BEF …………………………………………………………(1分)同理可证:⊿MFG ≌⊿BEF . …………………………………………………………(1分)∴GM=BF=AE =2.∴FC=BC-BF =10. …………………………………………………………(1分) (2)如图②,过点G 作GM BC ⊥于M .连接HF . …………………………………………(1分).AHE MFG ∴∠=∠ …………………………………………………(1分)又90,,A GMF EH GF ∠=∠==∴⊿AHE ≌⊿MFG . ………………………………………………………(1分)∴GM=AE =2. ……………………………………………………………(1分)C B (第26题图2) F G11(12)12.22GFC S FC GM a a ∴=⋅=-=- …………………………………………(1分)如图,直线y =+与x 轴相交于点A,与直线y =相交于点P .(1) 求点P 的坐标.(2) 请判断△OPA 的形状并说明理由.(3) 动点E 从原点O 出发,以每秒1个单位的速度沿着O P A →→的路线向点A 匀速运动(E不与点O 、A 重合),过点E 分别作EF x ⊥轴于F ,EB y ⊥轴于B .设运动t 秒时,矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S .求S 与t 之间的函数关系式.解:(1)y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得:2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩………………………1′ ∴ 点P 的坐标为(2, ………………………1′(2)当0y =时,4x = ∴点A 的坐标为(4,0) ………………………1′∵4OP ==4PA == ……………1′∴ OA OP PA ==∴POA 是等边三角形 ………………………1′(3)当0<t ≤4时, ………………………1′21328S OF EF == ………………………1′ 当4<t <8时, ………………………1′28S =-+-………………………1′ 25、(本题8分)已知直角坐标平面上点A ()0,2,P 是函数()0>=x x y 图像上一点,PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q (如图).(1)试证明:AP =PQ ;(2)设点P 的横坐标为a ,点Q 的纵坐标为b ,那么b 关于a 的函数关系式是_______;(3)当APQ AOQ S S ∆∆=32时,求点P 的坐标.证:(作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为H 、T , ∵点P 在函数x y =()0>x 的图像上, ∴PH =PT ,PH ⊥PT ,(1分) 又∵AP ⊥PQ , ∴∠APH =∠QPT ,又∠PHA =∠PTQ ,∴⊿PHA ≌⊿PTQ ,------------------------------------------------------(1分)∴AP =PQ . ---------------------------------------------------------------(1分)(2)22-=a b . -------------------------------------------------------------(2分)(3)由(1)、(2)知,2221-=⨯=∆a OQ OA S AOQ ,222122+-==∆a a AP S APQ ,------------(1分) ∴()2232222+-=-a a a , 解得255±=a ,--------------------------------------------------------(1分)所以点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255,255与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++255,255.---(1分)]26.(本题满分10分,第(1)小题6分,第(2)小题4分)已知点E 是正方形ABCD 外的一点,EA=ED ,线段BE 与对角线AC 相交于点F ,(1)如图1,当BF=EF 时,线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系?并证明;(2)如图2,当△EAD 为等边三角形时,写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系,并证明.26.(1)解:AF =DE 211 分) 证明如下:联结BD 交AC 于点O ,…………………………………………………(1 分)∵四边形ABCD 是正方形,∴BO =DO ,∵BF =EF ,∴OF =21DE ,OF //DE .………………………………………(1 分)∵BD ⊥AC ,∴∠DEO =∠AOB =90º,…………………………………(1 分)∵∠ODA =∠OAD =︒=︒⨯459021,EA =ED ,∴∠EAD =∠EDA =45º,∴∠OAD =∠OED =∠AOD =90º,∴四边形AODE 是正方形.………………………………………………(1 分)∴OA =DE ,∴OF=21AO ,∴AF ==AO 21DE 21.………………………(1 分) (2)解:AF+BF=EF 、AF 2+EF 2=2BF 2等(只要其中一个,BF =)31(+AF 、EF =)32(+AF 、BF =()13-EF 也认为正确).…………………………(1 分)AF+BF=EF 的证明方法一:联结BD 交AC 于O ,在FE 上截取FG =BF ,联结DG .与第(1)同理可证∠GDA =45º,……………………………………………(1 分) ∵四边形ABCD 是正方形,△ADE 是等边三角形,∴∠GDE =60º–45º=15º.∵AB=AD=AE ,∠BAE =∠BAC +∠DAE =90º+60º=150º,∴∠ABE =∠AEB =︒=︒-︒152150180,∴∠ABF =∠GDE . 又∵∠DEG =∠DEA –∠AEB =60º–15º=45º=∠BAC ,DE=AD=AB ,(第26题) C B C∴△ABF ≌△EDG ,……………………………………………………………(1 分) ∴EG =AF ,∴AF+BF=EG+FG=EF .……………………………………………(1 分)AF+BF=EF 的证明方法二(简略):在FE 上截取FG =AF ,联结AG .证得△AFG 为等边三角形.………………(1 分) 证得△ABF ≌△AEG .……………………………………………………………(1 分) 证得AF+BF=EF .………………………………………………………………(1 分)AF 2+EF 2=2BF 2的证明方法(简略):作BG ⊥BF ,且使BG =BF ,联结CG 、FG ,证得△BGC ≌△BF A .…………(1 分) 证得FC =FE ,FG =BE 2,……………………………………………………(1 分) 利用Rt △FCG 中,得出AF 2+EF 2=2BF 2.……………………………………(1 分)27.(本题满分10分,第(1)小题3分,第(2)小题3分, 第(3)小题4分)如图,在平面直角坐标中,四边形OABC 是等腰梯形,CB ∥OA ,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,动点P 从点O 出发,在梯形OABC 的边上运动,路径为O →A →B →C ,到达点C 时停止.作直线CP.(1)求梯形OABC 的面积;(2)当直线CP 把梯形OABC 的面积分成相等的两部分时,求直线CP 的解析式;(3)当∆OCP 是等腰三角形时,请写出点P 的坐标(不要求过程,只需写出结果)27.如图已知一次函数y =-x +7与正比例函数y =x 34的图象交于点A ,且与x 轴交于点B .(1)求点A 和点B 的坐标;(2)过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l ∥y 轴.动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长的速度,沿O ﹣C ﹣A 的路线向点A 运动;同时直线l 从点B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l 交x 轴于点R ,交线段BA 或线段AO 于点Q .当点P 到达点A 时,点P 和直线l 都停止运动.在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒)0( t .①当t 为何值时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是QA=QP 的等腰三角形?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)∵一次函数y =-x +7与正比例函数x y 34=的图象交于点A ,且与x 轴交于点B . ∴y =-x +7,0=x +7,∴x =7,∴B 点坐标为:(7,0),----------------------------1分∵y =-x +7=x 34,解得x =3,∴y =4,∴A 点坐标为:(3,4);-------------------1分(2)①当0<t <4时,PO =t ,PC =4-t ,BR =t ,OR =7-t ,--------------1分过点A 作AM ⊥x 轴于点M∵当以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8,∴S 梯形ACOB -S △ACP -S △POR -S △ARB =8, ∴21(AC +BO )×CO -21AC ×CP -21PO ×RO -21AM ×BR =8,∴(AC +BO )×CO -AC ×CP -PO ×RO -AM ×BR =16,∴(3+7)×4-3×(4-t )-t ×(7-t )-4t =16,∴t 2-8t +12=0. -----------------1分解得t 1=2,t 2=6(舍去).--------------------------------------------------------------------1分 当4≤t ≤7时,S △APR =21AP ×OC =2(7-t )=8,t=3(舍去);--------------1分 ∴当t =2时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8;②存在.当0<t ≤4时,直线l 与AB 相交于Q ,∵一次函数y =-x +7与x 轴交于B (7,0)点,与y 轴交于N (0,7)点,∴NO =OB ,∴∠OBN =∠ONB =45°.∵直线l ∥y 轴,∴RQ =RB=t ,AM=BM=4∴QB=t 2,AQ=t 224-----------------1分∵RB =OP =QR =t ,∴PQ//OR,PQ=OR=7-t --------------------------------------1分 ∵以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形,且QP =QA ,∴7-t=t 224-,t=1-32(舍去)--------------------------------------------1分当4<t ≤7时,直线l 与O A 相交于Q ,若QP =QA ,则t -4+2(t -4)=3,解得t =5;---------------------------------------1分∴当t =5,存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是PQ =AQ 的等腰三角形.已知边长为1的正方形ABCD 中, P 是对角线AC 上的一个动点(与点A 、C 不重合), 过点P 作 PE ⊥PB ,PE 交射线DC 于点E ,过点E 作EF ⊥AC ,垂足为点F .(1)当点E 落在线段CD 上时(如图10),① 求证:PB=PE ;② 在点P 的运动过程中,PF 的长度是否发生变化?若不变,试求出这个不变的值, 若变化,试说明理由;(2)当点E 落在线段DC 的延长线上时,在备用图上画出符合要求的大致图形,并判断上述(1)中的结论是否仍然成立(只需写出结论,不需要证明);(3)在点P 的运动过程中,⊿PEC 能否为等腰三角形?如果能,试求出AP 的长,如果不能,试说明理由.27.(1)① 证:过P 作MN ⊥AB ,交AB 于点M ,交CD 于点N ∵正方形ABCD ,∴ PM=AM ,MN=AB ,从而 MB=PN ………………………………(2分)∴ △PMB ≌△PNE ,从而 PB=PE …………(2分)② 解:PF 的长度不会发生变化,设O 为AC 中点,联结PO ,∵正方形ABCD , ∴ BO ⊥AC ,…………(1分)从而∠PBO =∠EPF ,……………………(1分)∴ △POB ≌△PEF , 从而 PF=BO 22= …………(2分)(2)图略,上述(1)中的结论仍然成立;…………(1分)(1分)(3)当点E 落在线段CD 上时,∠PEC 是钝角,从而要使⊿PEC 为等腰三角形,只能EP=EC ,…………(1分)这时,PF=FC ,∴ 2==AC PC ,点P 与点A 重合,与已知不符。

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