2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院再令Fra bibliotekz1 z2
y1 y2
y3
或
y1 y2
z1 z2
z3
z3 y3
y3 z3
即,
y1 1
y2 y3
0 0
0 1 0
1 z1
0 1
z2 z3
则 f ( x1, x2 , , xn ) 2z12 2z22 2z32 8z2z3
1 0
1 0
0 1
2 0 2 情形1)
2020/9/20§5.2
0 2 标2准形4
04 数学与计算科学学院
1 0 1
令
C2
0 0
1 0
0 1
,
1 0 0 2 0 2 1 0 1
A2
C2 A1C2
0 1
1 0
0 1
0 2
2 4
4 0
0 0
1 0
0 1
2 0 0
0 0
2 4
4 2
情形1)
1 0 0
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
二、合同的变换法
1. 定义：合同变换是指下列三种变换
（1）互换矩阵的 i, j 两行，再互 换矩阵的 i, j 两列; i （2）以数 k（k 0 ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘
z3
c32
y2
c33
y3
zn
cn2 y2
cn3 y3
c2n yn c3n yn cnn yn
使它变成平方和 d2z22 d3z32
dnzn2
于是，非退化线性替换
z1 y1
z2
c22
y2
c23
y3
zn
cn2
y2
cn3
y3
c2n yn cnn yn
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
f ( x1, x2 , x3 ) 2 x1 x2 6 x2 x3 2 x1 x3
0 1 1
解： f ( x1, x2 , x3 ) 的矩阵为
A
1 1
0 3
3 0
1 1 0
令
C1
1 0
1 0
0 1
,
情形3)
1 1 00 1 1 1 1 0
A1
C1 A
C1
1 0
1 0
0 1
1 1
0 3
3 0
第五章 二次型
§5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型
章小结与习题
2020/9/20
数学与计算科学学院
§5.2 标准形
一、二次型的标准形 二、合同的变换法 三、小结
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型
, yn 的二次型，且 y12 的系数
由情形1）知，结论成立.
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
3） a11 a12
a1n 0. 由对称性，
a21 a31 即 f ( x1, x2 ,
an1 0.
nn
, xn )
aij xi x j .
i2 j2
这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立.
a11 0
1
A1 a111 0
a111
En1
a11 0
0
A1 a111
这里 A1 a111 是n－1级对称矩阵，
A1 a111
A1 a111
A1
a111
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
由归纳假设，存在可逆矩阵G，使
G A1 a111 G D 为对角矩阵.
证明： 对二次型变量个数n作归纳法. n=1时，f ( x1) a11x12, 结论成立. 假定对n－1元二次型结论成立. 下面考虑n元二次型 f ( x1, x2 , , xn ).
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a1n x1xn
2z12 2(z2 2z3 )2 8z32 2z32
2z12 2(z2 2z3 )2 6z32
最后令
w1 w2
z1 z2
2z3
w3 z3
2020/9/20§5.2 标准形
或
z1 z2
w1 w2
2w3
z3 w3
数学与计算科学学院
则 f ( x1, x2 , x3 ) 2w12 2w22 6w32 所作的非退化线性替换是
令
C3
0 0
1 0
2 1
,
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
1 0 0 2 0 2 1 0 0
A3
C3 A2C3
0 0
1 2
0 1
0 2
2 4
4 2
0 0
1 0
2 1
2 0 0
0 0
2 0
0 6
为对角矩阵.
1 1 01 0 11 0 0
令
C
C1C2C3
1 0
1 0
0 1
0 0
总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性
替换化成平方和的形式.
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
2、二次型的标准形的定义
二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 经过非退化线性替换 所变成的平方和形式
d1 y12 d2 y22 dn yn2 称为 f ( x1, x2 , , xn )的一个标准形.
数学与计算科学学院
由归纳假设，有n－1级可逆矩阵G，使 GA1G D 为对角矩阵.
令 C
1 0
0 G
,
则
CAC
1 0
0 G
0 0
0 A1
1 0
0 G
0 0
0 GA1G
0 0
0 D
为对角矩阵.
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
例2 根据定理2，求例1中二次型的标准形.
x1 1 1 0 y1 1 1 0 1 0 1 z1
x2 x3
1 0
1 0
0 1
y2 y3
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
z2 z3
1 1 0 1 0 1 1 0 0 w1 1 1 3 w1
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
2 1
w2 w3
aij xi x j
j2
j2
i2 j2
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2
bij xi x j
j2
i2 j2
nn
n
nn
这里，
bij xi x j a111( a1 j x j )2
aij xi x j
i2 j2
j2
i2 j2
是一个. x2 , x3 , , xn 的n－1元二次型.
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
y1 x1
n
a111a1 j x j
x1
y1－
n
a111a1 j y j
令
j2
y2 x2
或
j2
x2 y2
yn xn
xn yn
即,
x1
1
x2 xn
0 0
a12 a11 1 0
0
a1n a11 0
1
证：对A的级数作归纳法.
n＝1时，A a11 , EAE a11 为对角阵,结论成立.
假定对n－1级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵A，
设 A
aij
,
nn
A A.
分四种情形讨论：
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
1) a11 0
令
1
C1
0
a111a12 1
0 0
数学与计算科学学院
n
n
a11[ x12 2 x1 a111a1 j x j ( a111a1 j x j )2 ]
n
j2
n nj2
a11( a111a1 j x j )2
aij xi x j
j2
i2 j2
配方 法
n
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2 a111( a1 j x j )2
2) a11 0, 但有一个 aii 0, i 1 令 C1 P(1, i), 显然 C1 P(1, i)
则 C1 AC1 P 1,i AP 1,i bij Pnn
其中 b11 aii 0. 归结为情形1，结论成立.
3) aii 0, i 1, 2, , n, 但有一个 a1 j 0, j 1.
y1
y2
,
yn
它是非退化的，
nn
且使 f ( x1, x2 , , xn ) a11 y12
bij yi y j .
i2 j2
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
nn
由归纳假设，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i2 j2
z2 c22 y2 c23 y3
d1 x12 d2 x22 它的矩阵是对角阵
dn xn2