山东省淄博实验中学2020-2021学年高三第一次（4月）诊断数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-2．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.83．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立4．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．366．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．37．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．788．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg109．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A ．254B ．9C ．7D ．25210．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是 A ．13-B ．13C．12-D．1211．如图所示，为了测量A、B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45︒的方向上，B在C的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得B在E的北偏西30的方向上，再开回C处，由C向西开26百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5︒的方向上，则A、B两座岛屿间的距离为（）A．3 B．32C．4 D．4212．已知0.212a⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b-=，13log2c=，则( )A．a b c>>B．b a c>>C．b c a>>D．a c b>>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a与b的夹角为3π，|a|＝|b|＝1，且a⊥（a-λb），则实数λ=_____.14．已知函数()sin()0,0,||2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()0f的值为____________.15．（5分）已知π4cos()25-=-α，且π(,0)2α∈-，则2π2cos2)4-αα的值是____________．16．已知x，y满足不等式组10310xx yx y≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y=+的取值范围为________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列{}n a的前n项和为n S，且满足21(*)n nS a n N=-∈．（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）证明：21143nk ka=<∑．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，bsinB ﹣asinA ＝12asinC ． （Ⅰ）求sinB 的值； （Ⅱ）求sin （2B+3π）的值． 19．（12分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从A 、B 、C 三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：假设所有植株的生长情况相互独立．从A 、B 、C 三组各随机选1株，A 组选出的植株记为甲，B 组选出的植株记为乙，C 组选出的植株记为丙． （1）求丙的高度小于15厘米的概率； （2）求甲的高度大于乙的高度的概率；（3）表格中所有数据的平均数记为0μ．从A 、B 、C 三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次是14、16、15（单位：厘米）．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为1μ，试比较0μ和1μ的大小．（结论不要求证明）20．（12分）已知函数21()2xf x e ax x =-+，其中1a >-． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设21()()ln 2h x f x ax x x =+--，求证：()2h x >； （Ⅲ）若21()2f x x x b ++≥对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值． 21．（12分） [选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线θβ=02πβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取最大值时tan β的值22．（10分）已知()2:,41p x R m x x ∀∈+>；2:[2,8],log 10q x m x ∃∈+.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ⌝∨为真命题且p q ⌝∧为假命题，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】 【分析】利用诱导公式得cos(2019)cos παα+=-，sin(2)cos 22παα-=，再利用倍角公式，即可得答案.【详解】由2cos(2019)πα+=-可得2cos()πα+=-，∴2cos 3α=，∴225sin(2)cos22cos 121299πααα-==-=⨯-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号. 2、B 【解析】如图，已知10AC AB +=，3BC =，2229AB AC BC -== ∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -= ， ∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩ .∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B. 3、C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题. 4、A 【解析】 【分析】设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积． 【详解】 如图，设三棱柱为，且，高． 所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，则圆的半径为．设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，所以，即球的半径为，所以球的体积为．故选A ． 【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法． （2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率． 5、D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知1928a a a a ,进而代入等差数列的前n 项和的公式即可.【详解】 由题,192899()9()9(210)36222a a a a S ++⨯-+====. 故选:D 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n 项和. 6、A 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值. 【详解】由题意得，()22,5b a x x -=+-，()2//b a a -，()2250x x ∴++-=，解得13x =. 故选A.【点睛】本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题. 7、C 【解析】 【分析】 【详解】根据等差数列的性质可得3578125102()3()6666a a a a a a a ++++=+=，即5a +1011a =， 所以1141451014()7()772a a S a a +==+=，故选C ． 8、A 【解析】 【分析】根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解. 【详解】输入ln10a =，lg b e =，因为ln101lg e >>，所以由程序框图知， 输出的值为11ln10ln10ln100lg a b e-=-=-=. 故选：A 【点睛】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题. 9、B 【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心(11)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心(45)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+;(45)F ，关于x 轴的对称点(45)F '-，，5PF PE PF PE EF -='-≤'==，故4PF PE -+的最大值为549+=，故选B ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值．10、B 【解析】 【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解. 【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数， 得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ）， ∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数． 11、B 【解析】 【分析】先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可. 【详解】由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒， 所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒，所以DAC ADC ∠=∠，所以CA CD ==又因为sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以2BC ==所以AB ===故选：B. 【点睛】本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.12、B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】由于0.2110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<=故b a c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。