淄博一中高08级第三学年第一学期期末检测理科数学试题2011.1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}A x x x =<->1或1，2{log 0}B x x =>，则A B = A.{}|x x >1 B.{}|x x >0 C.{}|x x <-1 D.{}|x x x <->1或12．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）Ａ．1440种 Ｂ．720种 Ｃ．960种 Ｄ．480种 3.i 是虚数单位，即i 2=―1则1＋16C i ＋226C i ＋336C i ＋446C i ＋556C i ＋666C i ＝ A. 8i B.8i - C. 8 D. 1616i -+4.在△ABC 中，已知向量AB AC 与满足，()0||||AB AC BC AB AC +⋅=, 且12||||AB AC AB AC ⋅=，则△ABC 为A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C.等腰非等边三角形 D. 等边三角形5.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是 A.15，16，19 B.15，17，18C.14，17，19D.14，16，206.曲线313y x x =+在点4(,)31处的切线与坐标轴围成的三角形面积为Ａ．1 Ｂ．19 Ｃ．13 Ｄ．237.设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4)1(4)21()(x x f x x f x，，，则)3(log 2f 等于 A ．823-B ．111C ．191 D ．2418.如图为一个几何体的三视图，左视图和主视图 均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为A B ．123C ．24D ．24+9.已知三条直线,,a b c 和平面β，则下列推论中正确的是A ．若ββ//,,//a b b a 则⊂ B ．若a ，b 与β所成角相等，则//a bC ．若b a b a b a //,,,//,则共面ββ⊂D ．若b a c b c a //,,则⊥⊥10.已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，若()2f α=，则()12f πα+的值为1 D.与ϕ和α有关11.已知双曲线)0(222>=-a a y x 的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线在第一象限的图象上有一点P ，γβα=∠=∠=∠APB PBA PAB ,,，则A 、tan tan 10αβ⋅+=B 、tan tan 10βγ⋅+=C 、tan tan 10αγ⋅+=D 、tan tan 10αβ⋅-= 12.等差数列}{n a 中，265,17a a ==，若数列}1{1+n n a a 的前n 项和为254，则n 的值为 A 、18 B 、16 C 、15 D 、14第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13.抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1， 则点M 的纵坐标是14.不等式212<-+x x 的解集是______________． 15.在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 . 16. 已知函数()f x 满足1(1)()f x f x +=，且()f x 是偶函数， 当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 ．三. 解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17 (本小题满分12分)、已知(cos sin ,2sin )a x x x =-，(cos sin )b x x x =+，若a →·b →=1013，且,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求sin 2x 的值18、（本小题满分12分）、如图，圆1O 与圆2O 的半径都等于1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得|PM|=2|PN|. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.19 (本小题满分12分)、四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，又PA=PD ，60APD ∠=︒，E 、G 分别是BC 、PE 的中点。

（1）求证：AD ⊥PE ； （2）求二面角E —AD —G 的正切值。

20 (本小题满分12分) 、 已知各项均为正数的数列}{n a 满足:1121n nn n a a a a ++-=（*N n ∈），且12342a a a a ++=-. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式;（Ⅱ）证明:13471+>⋅+n n （*N n ∈）（Ⅲ）若*N n ∈，令2n n a b =，设数列}{n b 的前n 项和为n T （*N n ∈），试比较nn T T 4121++与4641n n +-的大小.21 (本小题满分12分) 、定义在R 上的函数3)(23+++=cx bx ax x f 同时满足以下条件：①)(x f 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数；②/()f x 是偶函数；③)(x f 在0=x 处的切线与直线2y x =+垂直.EDGB CAP（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）设xmx x g -=ln )(，若存在[]e x ,1∈，使)()(x f x g '<，求实数m 的取值范围.22 (本小题满分14分)、已知椭圆的两个焦点12(F F ，过1F 且与坐标轴不平行的直线1l 与椭圆相交于M ，N 两点，如果2MNF ∆的周长等于8． （I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E （m ，0），使QE PE ⋅恒为定值?若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．高三理科数学答案及评分标准一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 131516 14 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭15 52 16 1(0,]4 三. 解答题：本大题共6小题，共74分.17解：∵a b ⋅ ＝22cos cos x sin x x x -+ （1分）＝cos 222sin(2)6x x x π=+ （3分）∴5sin(2)613x π+= （6分）∵,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ （7分） ∴12cos(2)613x π+=（8分） sin 2sin(2)sin(2)cos cos(2)sin 666666x x x x ππππππ=+-=+-+ （10分）＝512113132-⋅= （12分） （19）解：以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：1(20)O -，，2(20)O ，.（2分）由已知PM =，得222PM PN =.（3分）因为两圆半径均为1，所以221212(1)PO PO -=-.（7分）设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=)（12分）19解：解法一：（1）如图，取AD 的中点O ，连结OP ，OEAD OP PD PA ⊥∴=, （ 2分）又E 是BC 的中点，∴//,.OE AB OE AD ∴⊥ （4分） 又OP ∩OE=0，∴AD ⊥平面OPE 。

而⊂PE 平面OPE ， ∴AD PE ⊥ （ 6分）（2）取OE 的中点F ，连结FG ，OG ，则由（1）易知AD ⊥OG ，又OE ⊥AD ， ∴GOE ∠就是二面角E —AD —G 的平面角 （ 9分） ∵PA=PD ，60APD ∠=︒，∴△APD 为等边三角形，且边长为2 ∴OP=22=，122FG OP ==∴cos 7GOE ∠=（12分） 解法二：（1）同解法一。

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，0），D （―1，0，0），P （0∴(2,0,0),G DA DG == （8分） 设平面ADG 的法向量为),,(z y x n =EDGBCAPFO由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n DA n ，得200x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩∴(0,n = 10分又平面EAD的一个法向量为OP =又因为,cos OP n >=<==（11分） ∴二面角E —AD —G的余弦值为7（ 12分） 20．解:（Ⅰ）∵1121n nn n a a a a ++-=， （法一12212+++=n n n n a a a a ,即0)2)((11=-+++n n n n a a a a又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以12+=n n a a ，法二 令1n n na t a += 则有220n n t t --=，可得2n t =）∴12+=n n a a 所以数列}{n a 是公比为2的等比数列 （2分） 由12342a a a a ++=- 得11112482a a a a ++=-,解得21=a 故数列}{n a 的通项公式为*)(2N n a n n ∈= （4分）（Ⅱ）①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,上面不等式显然成立；（5分） ②假设当k n =时，不等式13471+>⋅=k k 成立 当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k综上①②对任意的*∈N n 均有13471+>⋅+n n （8分）（Ⅲ）因nn n n a b 4222===，所以4,411==+nn b b b即数列}{n b 是首项为4,公比是4的等比数列 （9分）所以)14(34-=nn T ，1431)14(48441211-+=-+=+++nn n n n T T （10分） 又46714141n n n +=+-- ∴1124n n T T ++－4641n n +-＝341n -－741n - ＝14(3174(4)01)(41)n nn n ++-⋅<--所以对任意的*N n ∈均有11246441n n T n T n +++<- （12分） 21．解：（Ⅰ）c bx ax x f ++='23)(2∵ )(x f 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，∴/(1)320f a b c =++= ……① （1分） 由/()f x 是偶函数得：0b = ② （2分）又)(x f 在0=x 处的切线与直线2y x =+垂直，(0)1f c '==- ③ （3分）由①②③得：1,0,31-===c b a ，即331)(3+-=x x x f （4分） （Ⅱ）由已知得：存在[]e x ,1∈，使1ln 2-<-x xmx即存在[]e x ,1∈，使x x x x m +->3ln设[]e x xx x x x M ,1ln )(3∈+-=，则23ln )(2+-='x x x M （6分）设23ln )()(2+-='=x x x M x H ，则xx x x x H 26161)(-=-=' （8分）[]0)(,,1<'∴∈x H e x ，即)(x H 在[]e ,1递减于是，()(1)H x H ≤，即()10H x ≤-<，即0)(<'x M （10分）)(x M ∴在[]e ,1上递减，32)()(e e e M x M -=≥∴于是有32e e m ->为所求 （12分）22．解：（I ）由题意知 c =3 ，48a =，（2分）∴2a = ， b =1∴椭圆的方程为224y x +=1 （4分）（II ）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为()1-=x k y()⎪⎩⎪⎨⎧-==+11422x k y y x 消去y 得 ()0448142222=-+-+k x k x k （6分）设()()2211,,,y x Q y x P则由韦达定理得1482221+=+k k x x 14442221+-=k k x x （7分） 则()()1122,,PE m x y QE m x y =--=--∴()()2121y y x m x m +--=⋅=()2121212y y x x x x m m +++-=()()()2212121211m m x x x x kx x -+++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-++-++-1148144414441482222222222k k k k k k k k k m m =()()1441842222+-++-k m k m m（10分）要使上式为定值须22481441m m m -+=-，解得 178m = ∴⋅为定值6433（12分）当直线l 的斜率不存在时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1,23,1Q P 由⎪⎭⎫ ⎝⎛0,817E 可得99,88PE QE ⎛⎛== ⎝⎭⎝⎭∴QE PE ⋅=6433436481=-综上所述当⎪⎭⎫⎝⎛0,817E 时，⋅为定值6433（14分）。