运筹学基础论文——单纯形乘子定理摘要：对偶理论是线性规划在早期发展中的重要成果之一，是线性规划的重要组成部分。

对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题之间深刻的内在联系。

对偶理论充分显示了线性规划理论逻辑的严谨和结构的对称美；对偶问题的对偶解是进行经济分析的重要工具。

正确理解单纯形乘子定理；最优基B是什么,在单纯形表中如何找到；Y*=CB﹣¹在单纯形表中的位置；原问题、对偶问题的最优值，在单纯形表中的确定；理解“对于原问题LP，其对偶问题DP的最优解就是LP最优单纯形表中松弛变量检验数的相反数。

”；CB﹣¹和CB﹣¹b的计算及体现。

关键字：运筹学线性规划单纯形法对偶问题单纯性乘子定理最优值单纯形表1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。

单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。

对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。

在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。

设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为max{yb|yA≤c}。

当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。

即知y=cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。

所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。

因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。

线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出生产计划问题：某家具厂生产桌子和椅子，桌子售价50元/个，椅子售价30元/个。

需要木工和油漆工，生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时，生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。

该厂每月可用木工工时120小时，油漆工工时50小时。

问：如何组织生产，使得每月销售收入最大？线性规划模型为（桌、椅数量为变量）：12121212max 503043120..250,0z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩现考虑一个成本最小化的问题：另一厂商，接到上述生产订单后组织生产，其中的劳动力欲向家具厂雇佣，如何才能使得生产成本（工资）最小？分析： 确定决策变量1y ＝木工的工资，2y ＝油漆工的工资得对偶问题规划模型： 12121212min 12050 4250..330 ,0 z y y y y s t y y y y =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩目标函数—使工资支出最小约束方程—向外转让的收入至少要大于自己生产的收入工资的非负约束二、对称形式的对偶问题的矩阵表述：原问题：既定的资源（成本）b 约束下产量X 最大化 m a x ..z CXAX b s t X O=≤⎧⎨≥⎩ 对偶问题：既定的产量C 约束下资源（成本）b 最小化： m i n ..w b YA Y C s t Y O'=''≥⎧⎨≥⎩ 三、对偶原理在经济学厂商理论中的应用：从实物形态研究生产——生产理论；从货币形态研究成本结构——成本理论 在完全竞争市场上，一定成本下产量最大化的投入组合问题互为对偶问题一定产量下成本最小化的投入组合问题1、 一定成本下产量最大化的投入组合问题：max (,)..Q f L K s t C wL rK==+令(,)()Z f L K C wL rK λ=+--，0Z Q w L Lλ∂∂=-=∂∂，0Z Q r K Kλ∂∂=-=∂∂ 得：Q Q w r L K ∂∂=∂∂， 即：L K w r P MP MP == 2、 一定产量下成本最小化的投入组合问题：min ..(,)C wL rK s t Q f L K =+=用拉格朗日乘数法求解：令((,))Z wL rK Q f L K λ''=+--，0Z Q w L L λ'∂∂'=-=∂∂， Z Q r K K λ'∂∂'=-∂∂,(,)0Z Q f L K λ∂=-='∂ 得：QQw r LK∂∂=∂∂，即：L K w r P MP MP == 四、如何将原问题转化为对偶问题 （一）约束条件为标准形式（见前例）目标函数的最大值max ←→ 目标函数的最小值min 目标函数的价值系数C ←→ 约束方程右端的资源量C ’ 约束系数矩阵A ←→ 约束系数矩阵A ’原问题的n 个变量（≥0）←→ 对偶问题的n 个约束方程 约束条件“AX ≤B ”←→ 对偶问题的约束条件“A ！Y ≥C ” （二）约束条件为非标准形式将下列线性规划问题转化为对偶问题12312312323123min 7434262436415..53300,0z x x xx x x x x x s t x x x x x =+--+-≤⎧⎪---≥⎪⎨+=⎪⎪≤≥⎩取值无约束， 1、先化为标准形式，再根据标准形式进行转化：令11x x '=-，222x x x '''=-； 并将等式约束235330x x +=化为两个不等式约束235330x x +≤和235330x x +≥；对于min 问题，统一约束不等式为“≥”，得：1223122312232232231223m i n 7443422624366415..5533055330,,0z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x ''''=-+--''''--++≥-⎧⎪''''-+-≥⎪⎪'''-+≥⎨⎪'''-+-≥-⎪''''≥⎪⎩， → 1234121234123412341234max 2415303043726554..2655464333,,0w y y y y y y y y y y s t y y y y y y y y y y y =-++--+≤-⎧⎪--+-≤⎪⎪+-+≤-⎨⎪-+-≤-⎪≥⎪⎩，y2、将多余的量还原：第一个约束方程的右边还项原为正数，令11y y '=-，334y y y '=-，并将第三、第四约束方程合并为等式约束，得： 12312123123123max 2415304372654..64330,0w y y y y y y y y s t y y y y y ''=++'--≥⎧⎪''-+=⎪⎨''--+≤-⎪⎪''≤≥⎩取值无约束，y 结论：对于非标准约束的原问题和对偶问题，可得出约束条件和变量如下的对应逻辑关系：五、原问题化为对偶问题的2种求解思路：（一）根据表格中约束条件和变量对应的逻辑关系，直接转换为对偶问题； ——注意，对于min 原问题，应该从表格右列向左列转化（变量转为约束时，不等号相反）；对于max 原问题，应该从表格左列向右列转化（变量转为约束时，不等号不变）（二）将约束条件和变量转化为标准形式后，转换过去，具体步骤稍微繁琐，但可靠性高——对于原问题为min ，其约束条件统一化为“C YA ≥'”，含义：资源的转让收入AY 要大于产品的市场价格C 。

对于原问题max ，其约束max min ≥ ≥ 变量 ≤ 约束 ≤ 无约束 ＝ ≥ ≤ 约束 ≤ 变量 ≥ ＝无约束条件统一化为“B AX ≤”，含义：产品的产出消耗AX 要小于资源的限制B设B 为初始基，采用矩阵形式分析，原问题分解后：max ..0z s t =⎧⎨≥⎩B B N N B N B N c x +c x Bx +Nx =b x ,x ， 将约束方程化为典则形式：=-1-1B N x B b -B Nx 代入目标函数，得线性规划形式：max ()..0z s t =-⎧=⎨≥⎩-1-1B N B N-1-1B N B N c B b +c c B N x x B b -B Nx x ,x令非基变量N x 为0，当0≥-1B b 时，则(,0)=-1B x B b 是一个基可行解。

1、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题2、弱对偶定理：若x,y 分别是原问题和对偶问题的可行解，则≤cx yb 。

证明：对各自的约束方程,≤≥Ax b yA c ，可直接得≤≤cx yAx yb ,其中0,0≥≥x y 。

意义：原问题的一个可行解，其目标函数值提供了对偶问题的一个下界（反之，提供了上界）。

3、对偶定理：原问题与对偶问题有如下关系： （1）原问题有最优解 ←→ 对偶问题有最优解证明： 根据单纯形法判定定理，当10B B A σ-=-≤c c 时为最优解；令=-1B y c B ，满足≥yA c ，即为对偶问题约束条件，=-1B y c B 为对偶问题可行解——由线性规划的基本定理，可行域为非空、闭的凸集；设x *是原问题最优解，由弱对偶定理z *=≤cx yb ，对偶问题下界为z ；故对偶问题min w 有最优解。

（2）无界性：若原问题无界，那么对偶问题无可行解证明：假设原问题无界（但有可行解），对偶问题有可行解，则由弱对偶定理≤cx yb 可知，原问题有上界，矛盾——→故对偶问题应无可行解。

注（反之不成立）：若原问题无可行解，那么对偶问题无可行解或无界。

（3）若x,y 分别是原问题和对偶问题的可行解，其为最优解 **=cx y b 。

证明：Ⅰ充分性： maxx *==-1B c c B b yb*≥yb y b 可得**=cx y b*≤cx y bⅡ必要性：设,**x y 为可行解，满足**=cx y bCX ≤CX ′ 由弱对偶定理，对于任一可行解x 有*≤c x y b即为最优解*x 的定义。

对于“≤”不等式约束条件的原问题与“》”不等式约束条件的对偶问题的展开形式是原问题：对偶问题将原问题和对偶问题标准化是：用单纯形法求解原问题，最初单纯形表是：得到最终单纯表：综上所述以下五个问题得解：1、假设有最优解，最优基为B，在单纯形表中如何找到B。

答：从单纯形法的求解过程可知，最优基是原问题的最优解对应初始单纯形表中的列向量所组成的矩阵，即最初单纯形表中的B。

（上表中阴影部分）2、在单纯形表中哪一个位置可以找到，如何确定？答：根据单纯形法的原理，就是原问题最优单纯形表中松驰变量检验数的相反数。

从最优单纯形表中可以看出来，就是表中所对应的检验系数的相反数。

（下表中黄色部分）3、原问题（对偶问题）的最优解如何计算。

答：根据对偶理论，如果原问题有有限最优解，那么对偶问题的最优解也存在，而且它们可以同时在最优单纯形表中找到。