评分中国矿业大学（北京）研究生课程考试试卷考试科目运筹学考试时间2015年7月30日学号TSP140501074姓名王长波所属学院管理学院类别（硕士、博士、进修生）硕士评语：任课教师签名：基于排队论的火车站售票系统的优化摘要：售票是火车站重要的服务系统，随着客流量的增多，乘客排队购票现象日益严峻。
基于现实情况的考虑，火车站售票窗口的数量是有限的，而乘客的要求是越多越好。
本文以北京西站为例，通过运筹学中排队论的原理，建立了北京西站售票服务系统多窗口等待制M/M/c/∞/∞排队模型，通过计算得出最优服务窗口数量，最后根据对计算结果的研究分析，给出了北京西站售票服务系统优化的措施。
关键词：火车站；售票系统；排队论；M/M/c/∞/∞模型The Improvement of Railway Station Ticketing System Based onQueuing Theory and OptimizationAbstract: the ticket is an important service station system, along with the increase in traffic, passenger phenomenon growing standing in line to buy tickets.Based on the consideration of the reality, the number of the train station ticket window is limited, and the requirement of the passengers is the more the better.Based on the Beijing west railway station as an example, through the principle of queuing theory in operational research, established the system of Beijing west railway station ticketing service system more window waiting for M/M/n/up/up queuing model, calculated the optimal number of service window, according to the research on the calculation results of analysis, Beijing west railway station ticketing service system optimization measures are given.Keywords: train station; ticketing system; queuing theory; M/M/c/∞/∞ model1引言北京西站作为北京市重要的火车站之一，承担着服务市内外旅客的重任。
随着我国国民经济的快速发展，来往首都北京的旅客日益增多，铁路运输作为我国主要交通运输方式，接纳的全国各地的旅客数量呈现上升的趋势，随之而来的就是旅客排长队购票的问题。
这种现象在北京西站的售票厅几乎每天都在发生，有的旅客需要排队二、三十分钟，甚至更长的时间才能够买到火车票，在节假日的时候更是一票难求，这不仅影响了旅客的出行效率，也严重影响了旅客的满意度。
另外，火车站也不可能过多地开放售票窗口，那会增加铁路运营成本，减弱其客运竞争力。
因此，如何合理地开设售票窗口数目，缩短旅客排队等待时间，给旅客创造一个良好的购票环境，显得尤为重要。
本文根据运筹学中的排队论理论，建立相应于火车站售票系统的数学模型，并通过研究分析，已达到优化北京西站售票系统的目的。
2火车站售票窗口排队系统2.1排队系统的组成实际中的排队系统是各种各样的，但从决定排队系统的主要因素来看，它由输入过程、排队规则、服务机构三个部分组成。
（1）输入过程输入过程是描述顾客来源及顾客是按怎样的规律到达排队系统。
在火车站售票排队系统中，由于北京西站的旅客非常多，可以认为顾客来源是无限的。
另外，旅客到达火车站售票窗口是相互独立的，旅客到达的时间间隔也是随机的，从整体上来看单位时间内到达的顾客数服从泊松分布。
（2）排队规则火车站售票窗口的排队规则遵循先到先服务的原则，火车作为主要的交通运输工具，是大多数旅客所必须选择的，故该系统的排队规则可认为是等待制。
对于北京西站的售票厅来说，从为限制过旅客的进出，可以认为该系统的容量是无限的。
（3）服务机构火车站的售票窗口是多台并列存在的，并且是一对一服务。
对于车站售票系统来说，服务时间是随机的，认为服从负指数分布。
综上所述，单位时间内到达的旅客数服从泊松分布，λ表示平均到达旅客数，1/λ表示相继旅客到达的平均间隔时间。
每个窗口对一个顾客的服务时间服从负指数分布，μ表示单位时间内能被服务完成的顾客数，称为平均服务率，1/μ表示一个顾客的平均服务时间，这里的平均就是期望值。
2.2排队问题的求解研究售票排队系统的目的是通过了解系统运行状况，对系统进行调整和控制，使系统的服务质量处于最优状态[1]。
所以必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，这些指标包括：（1）队长和排队长（队列长）队长是指系统中旅客的平均数（包括正在接受服务的顾客和排队等待的顾客），其期望值记作L s。
排队长是指系统中排队等待接受服务的旅客平均数，其期望值记作L q。
一般情况下，队长（或排队长）越大，说明服务效率越低，这是旅客最厌烦的。
（2）等待时间和逗留时间从旅客进入系统的时刻起直到开始接受服务止的这段时间称为等待时间，其期望值记作W q。
逗留时间是指从旅客到达时间起到他接受完服务为止这段时间，其期望值记作W s。
这两个都是随机变量，对于火车站售票等待时间是旅客们所关心的。
（3）忙期（busy period）忙期是指从顾客到达空闲服务机构起到拂去机构再次为空闲止这段时间长度，即服务机构连续繁忙的时间长度，它关系到服务员的工作强度[2]。
（4）服务强度服务设施用于服务顾客的时间与总服务时间的比值，通常记作ρ[3-4]。
令ρ=λ/cμ,其中，λ为系统的平均到达率，μ为单个服务台的平均服务率，cμ为整个系统的平均服务率。
3火车站售票系统排队模型的建立及解析3.1北京西站客流现状北京西站是中国最大的人口集散地和交通枢纽，接发旅客列车已达70-90对/天，日均客流量在18万到20万之间，客流高峰期达到40-60万人次，每年覆盖人群近1.8亿人次。
2015年初日均客流量突破20万，至2月中旬已达到23万人次。
北京西站共有四个售票处，北售票大厅：位于西站北广场东侧，分为东、西两个售票厅，为旅客办理普通售票业务。
售票东厅为“036”售票厅，为旅客提供以下特色服务：军人、记者优先购票窗口。
直达特快列车预约订票窗口。
老年人优先购票窗口。
铁路公免签证、提供双语服务窗口。
值班站长窗口，办理旅客投诉、解决旅客疑难问题，各次列车及直达特快列车的改签业务，同时办理上访人员换票业务。
团体旅客预约订票窗口。
无障碍购票窗口，重点为残疾旅客提供售票服务。
有41个人工窗口，13台自助售票机和取票机。
南售票大厅：位于西站南广场西侧，为旅客办理普通售票业务、团体订票业务、代售处取票业务。
设置以下特色窗口：团体订票窗口。
直达特快列车预约订票窗口。
为各代售处提供发票服务。
有20个人工窗口，13台自助售票机和取票机。
出站口售票处：分别位于地下二层北一、北二出站口处，为刚下车的旅客提供购票方便，重点发售北京站、北京南站、北京北站的换乘列车车票，同时发售北京西站各次始发列车的车票。
有10个人工窗口，4台自助售票机和取票机。
北广场二楼的售票厅：有26台自助售票机和取票机。
以上共有71个人工窗口，56台自助售票机和取票机，共127个服务台，春节期间全部开放。
3.2售票系统排队模型根据以上分析，对于北京西站售票厅的旅客排队模型近似地认为为多服务负指数分布排队模型（M/M/c/∞/∞模型），即输入为泊松输入、负指数分布服务、c 个开放的售票服务台、系统容量不受限制、以及顾客源数为无限的等待制排队模型，如图1所示。
图1旅客购票排队模型3.2.1实际数据的收集整理北京西站在春运期间为客流高峰期，临时增加售票窗口120个，通过网络调查，测定春运期间某天十个时间段的旅客进厅和购票情况，如表1和表2所示。
表1游客进厅购票人数 时间段 平均到达率λ（人/h ） 时间间隔1/λ（min/人） 8:00-9:00 10373 0.005784 9:00-10:00 11246 0.005335 10:00-11:00 12247 0.004899 13:00-14:00 11589 0.005177 14:00-15:00 12145 0.004940 15:00-16:00 13077 0.004588 16:00-17:00 12458 0.004816 18:00-19:00 10111 0.005934 19:00-20:00 9897 0.006062 20:00-21:00 90460.006633表2售票服务台人数 时间段 平均服务率μ（人/h ） 平均服务时间1/μ（min/人）8:00-9:00 41 1.4634 9:00-10:00 46 1.3043 10:00-11:00 50 1.2000 13:00-14:00 47 1.2766 14:00-15:00 49 1.2245 15:00-16:00531.1321旅客源 等待服务 12 c 输入 队伍服务系统服务台输出16:00-17:00 51 1.1765 18:00-19:00 41 1.4634 19:00-20:00 40 1.5000 20:00-21:00371.6216由表1可知，北京西站春运期间旅客平均到达率λ=11219人/h ，约为187人/min ；旅客到达的平均时间间隔为0.0054min/人。
由表2可知，每个售票服务台的平均服务率为μ=45.5人/h ，约为0.75人/min ；旅客的平均服务时间为1.34min/人，整个系统的平均服务率ρ=0.9962。
3.2.2模型建立由上述排队系统组成分析结果可知，北京西站售票系统排队模型符合标准的M/M/c 模型。
在M/M/c 模型中，系统处于稳态时，稳态的概率关系表现为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=--c n P n c n P n P n n n ,,11μλμλ(1)以ρ=λ/c μ作为整个系统的服务强度，带入上式可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==≤===--c n P c c P c n P n c P n c P c n nn n ,!)(,!)(0101ρρρρ （2） 又由P 0+P 1+…+P n-1+P n =1可得：初始概率为：1100)1(!)(!)(--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑c n cnc c n c P ρρρ （3） 可得系统的运行指标如下： （1）队列长：2)1(!)(P c c L cq ρρρ-= （4）（2）排队时间： λqq L W =（5）3.2.3优化分析火车站售票系统的优化分析就是综合考虑运营商和旅客的利益，既要避免排队过长，浪费旅客的宝贵时间，又要避免售票服务台的闲置造成浪费，使两者利益之和达到最优[5-6]。