且
lim
n
an

lim
n
bn
.
证:（存在性） 由条件(i) {an } 为递增有界数列 ，
a 依单调有界原理，{
}有极限
n

，且
an

,n

1,2,
b 递减有界数列 {
}
n
也有极限，并按区间套的条件(ii)
有
lim an n

lim n
bn

且 an bn , n 1,2,
20
也可以用以下方式定义开覆盖:
定义3’： 设 S 为数轴上的点集, H 为开区间的集合:
H {(i , i ), i I }
若
U S (i , i ),
iI
则称 H 为 S 的一个开覆盖,或称 H 覆盖 S.
21
如：(0，2), ( 1，3), ，( n 1 , n 1 ),
a1 a2 a3
b3 b2 b1
则称 {[an,bn]} 为闭区间套，或简称区间套.
a1 a2 an bn b2 b1
3
单调有界原理 区间套定理
定理1（区间套定理） 若{[ an,bn ]}是一个区间套，
则在实数系中存在唯一的一点 ， 使
[an ,bn ] n 1,2, .
且xn与x1，x2， xn1互异，
无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列 { xn },
且满足：|

xn
|
n

1，从而 n
lim
n
xn

.
证毕。
13
区间套定理 聚点定理
定理3.2.2 ((Weierstrass)聚点定理)
实轴上的任意有界无限点集 E 至少有一个聚点。
证：因为E是有界点集，M 0,使E [M, M]，
令

1 22
,N2 ,在[aN2

1 22
,aN2

1 22
]内含{an
}几乎所有项，
记[2，2 ] [aN2

1 22 ,aN2

1 22
]

[ 1， 1 ],
则[2，2 ]也含{an }几乎所有项，
9
依次令

1 23
，1 24
，
，1 2n

仿以上方法得到闭区间列 {[n , n ]},
[充分性] 0,N 0,n N,有an aN .
即在区间[aN ,aN ]内含有{an } 中几乎外所有的项.
令

1 2
,
N
1
,
在[a
N1

1 2
,
a
N1

1 2
]内含{an
}几乎所有项，
记[ 1， 1 ]

[aN1

1 2
,
a
N1

1], 2
7
例1. 用区间套定理证明“数列的柯西收敛准则” .
定理2.1.8（Cauchy 收敛准则）:
{an}收敛 0, N 0,m, n N, 有an am .
证: (必要性) 设lnim an A, 则对 0, N 0,
对m, n N, 有an A / 2 及am A / 2.
| an am || an A | | am A | / 2 / 2 .
(充分性) 0,N,n N,有an aN .
即在区间[aN ,aN ]内含有{an } 中除有限项外所
有的项，写作“几乎所有的项”
8
{an}收敛 0,N,m,n N,有an am .
其中每个区间都包含{an }几乎所有项，
且 [n , n ] [n1, n1], n 1,2,
n n

1 2n1
0,(n ),
即
{ [n , n ]}是闭区间套。
由区间套定理，存在唯一的一个数 [n , n ], n 1,2,
由推论得 ： 0，N 0,n N ,有 [n , n ] U ( , ).
记 [a1, b1] [M, M ]，
现将 [a1,b1]等分为两个子区间。
因为E是无限点集，故两个子区间中至少有一个
含有E中无穷多个点，记这个区间为 [a2 ,b2 ]，
则 [a1,b1] [a2 ,b2 ]
且b2

a2

1 2 (b1

a1 )

M，
再将 [a2 ,b2 ] 等分为两个子区间，
16
例 2. 用“确界原理”证明“聚点定理”. 证：设 S 为有界无限点集. 构造数集
E {x | S中大于x的点有无穷多个}
易见数集 E 非空有上界,由确界原理, E 有上确界.
设
， 则对
,由
不是 E 的上界,
S 中大于
的点有无穷多个; 由
是E
的上界,
S 中大于
的点仅有有限个. 于是,
在 一个聚点 .
因此在 U(; ) 内含有 {an }中除有限项外的所有项，
即
lim
n
an


.
10
二、聚点定理
定义2 : (聚点的定义) 设S为数轴上的点集， 为定点（它可以属于S，也
可以不属于S）。
若 的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称
为点集S的一个聚点。
如 S {(1)n 1}的聚点为 1, 1.
n
S { n }的聚点为 1,
n1 S (a,b)的聚点为 [a,b],
11
整数集Z和自然数集N没有聚点。 任何有限数集没有聚点. 聚点概念的另两个等价定义:
定义2 对于点集S,若点的任意邻域内都含有S中 异于的点，即U o( ; ) S ,
则称 为S的一个聚点。
[an ,bn ] [an1,bn1], n 1,2,
且
bn

an

M 2n1

0
(n )
即{[an ,bn ]}是闭区间套，
15
且其中每一个闭区间都含E中无穷多个点。
由区间套定理，存在唯一的点 [an ,bn ], n 1,2, 由推论得： 0，N 0,n N ,有 [an ,bn ] U ( ; ) 从而 U(; ) 内含有 S中无穷多个点， 按定义2， 为S的一个聚点。
取1 1,则x1 U ( ;1 ) S， 注意这种技巧！ 取 2 min{ 1/ 2,| x1 |},则x2 U ( ; 2 ) S，
显然 x2 x1，
取 n min{ 1/ n,| xn1 |},则xn U ( ; n ) S，
3.2 实数的连续性
关于实数完备性的基本定理
确界原理 、数列的单调有界定理、柯西收敛 准则 ，这三个命题以不同的方式反映了实数 集R的一种特性 ，称为实数的连续性或实数的 完备性。 有理数集就不具有这种特性 。
1
1. S {x | x2 2, x Q}, sup S 2, inf S 2,
即S在有理数集没有确界。确界原理在有理数域不成立。
2. {(1 1 )n }是单调有界有理数列，但其极限是无理数e. n
即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
3. {(1 1 )n }也是满足Cauchy条件的有理数列， n
但其极限是无理数e.
即柯西收敛准则在有理数域不成立。
2
本节介绍刻画实数完备性的另外三个定理：区间
套定理、聚点定理和有限覆盖定理，还将说明这六个 基本定理的等价性。
一、区间套定理
定义1 设闭区间列{[ an,bn ]}具有如下性质：
( i ) [an ,bn ] [an1,bn1], n 1,2, .
( ii ) lnim(bn an ) 0
· [ [ [ [ ] ] ] ]
3 24
n n2
是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。
函数f 在 (a, b) 内连续， 0,x (a,b), x 0,使 当x U ( x, x )， 有 | f ( x) f ( x) | ，
这样就得到一个开区间集:
H {( x x , x x ) | x (a,b)},
定义2 若存在各项互异的收敛数列 { xn } S,
lim
n
xn


, 则 称为S的 一 个 聚 点 。
显然，定义2 定义2 定义2
12
三个定义等价性的证明:
2 1
只需证：定义2 定义2
(( ) )
x2 x1
设 为S（按定义2）的聚点， 0,x U( , ) S,
它是区间(a, b)的一个无限开覆盖。
22
例3. 设 I （0，1）, S （{ 1 ，1 ）n 1,2,3 }.
n1 n
则开区间集 S 没有覆盖区间 I，
1 n

(0,使
1 n


.
例4. 设 I （0，1）, S （ { 1 ，1）n 1,2,3 }.
用区间套证题通常分为三个步骤： (1) 分析所要证明存在的点满足的所谓“邻域性质”，由 此构造区间套（这一步往往是技术性的,有一定的难度）； (2) 由区间套定理,确认点的存在性（关键的一步）； (3) 验证所得到的点就是所要找的点.
6
在什么情况下应用闭区间套定理呢？ 一般来说, 证明问 题需要找到具有某种性质 P 的一个数,常常应用闭区间套定理 将这个数“套”出来。 怎样应用闭区间套定理呢? ① 首先构造一个具有性质P的闭区间. 性质要根据性质P来定。 ② 其次，通常采用二等分法， 将此闭区间二等分 ，至少有 一个闭区间具有性质P。 ③ 继续二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性质 P 的闭区间列，根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性 质P的数。