2013年大学物理B （上）期中考试试卷考试时长：90分钟专业 班号 学号 姓名1、（本题15分）一质量为m 的质点在O-xy 平面上运动，其位置矢量为j t b i t a rωωsin cos +=(SI)式中a 、b 、ω 是正值常量，且a ＞b ． 试求：（1）质点在任意时刻的速率v ，以及在A 点(a ，0)时和B 点(0，b )时的速度A v 和B v；（2）当质点从A 点运动到B 点的过程中，合外力所做的功； （3）质点在任一时刻对于坐标原点的角动量。
2、（本题15分）已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2/x k f -=，k 是比例常数．设质点在0x x =时的速率为0v ，且向x 轴正方向运动，（0x 、0v 均大于零）。
试求（1）质点能到达的最远位置坐标m ax x ；（2）当质点在该引力的作用下，由0x 处运动到20x 处时引力做的功； （3）若以0x 处为该引力场的零势能点，求质点在20x 处的引力势能。
3、（本题15分）发射地球同步卫星时，先要让卫星在一个大的椭圆形转移轨道上运动若干圈，如图所示。
设卫星质量kg 500=m ，椭圆轨道近地点的高度为km 14001=h ，远地点的高度（也就是同步轨道的高度）km 000 362=h 。
当卫星在转移轨道上运动到远地点时再利用火箭推力使之进入同步轨道。
已知：地球赤道半径km 6378=R ，地球质量=M 5.982410⨯kg ，万有引力常量G 2211kg m N 1067.6--⋅⋅⨯=。
试求：（结果保留3位有效数字）（1）以无限远处为引力势能的零势能点，求卫星在同步轨道上运动时的机械能。
（2）卫星在转移轨道上运动时，它在近地点的速率1v 和远地点的速率2v 。
4．（本题12分）质量为1m 和2m 的两物体A 、B 分别悬挂在如图所示的组合轮两端。
设两轮的半径分别为R 和r ，转动惯量为别为1I 和2I ，轮轴上的摩擦可以忽略不计，轮与绳之间没有相对滑动，轻绳不可伸长。
试求两物体的加速度和绳的张力。
转移轨道5. （13分）一个摆锤由一根长为l 质量为m '的匀质细棒和一个质量也为m '的锤B 固定铆接组成，该摆锤能够在竖直平面内绕O 点无摩擦地转动，如图所示。
质量为m 的弹丸A 穿过摆锤后速率由v 减小到2v 。
如果摆锤能在竖直平面作一个完整的圆周运动，试求弹丸的最小速率v 。
6、（本题15分）在光滑的水平桌面上有一个弹簧振子，振子质量g m 100=，弹簧的劲度系数N/m 10=k ，振幅为10cm 。
当0=t 时，位移为=0x 0.5-cm ，且向X 轴正方向运动。
试求：(1) 振子的振动表达式；(2) 0.1=t s 时，振子的动能及系统的总能量。
7、（本题15分）已知某平面简谐波沿X 轴负向传播，波速0.3=u m/s ，周期0.2=T 。
s 0=t 时刻的波形如右图所示。
试求： （1）此波的波动表达式。
（2）P 点的位置坐标P x 。
2013年大学物理B （上）期中考试试卷及答案考试时长：90分钟专业 班号 学号 姓名1、（本题15分）一质量为m 的质点在O-xy 平面上运动，其位置矢量为j t b i t a rωωsin cos +=(SI)式中a 、b 、ω 是正值常量，且a ＞b ． 试求：（1）质点在任意时刻的速率v ，以及在A 点(a ，0)时和B 点(0，b )时的速度A v 和B v；（2）当质点从A 点运动到B 点的过程中，合外力所做的功； （3）质点在任一时刻对于坐标原点的角动量。
1解：（本题15分）（1）因为 j t b i t a rωωsin cos += (SI)• POx /mm 10/2-⨯y0.1-23 BAv2v Olm '所以 j t b i t a trv cos sin d d ωωωω+-== （m/s ） 2分()() cos sin 2222t b t a v v v y x ωωωω+=+=（m/s ） 1分在A 点(a ，0) ，1cos =t ω，0sin =t ωj b v Aω= 2分 在B 点(0，b ) ，0cos =t ω，1sin =t ωi a v Bω-= 2分（2） 由质点的动能定理，合外力的功为： 222121A B KA KB mv mv E E A -=-= 22222121ωωmb ma -=4分 （3） v m r L⨯= 2分()m j t b i t a ⨯+= ωωsin cos ()j t b i t acos sin ωωωω+-k mabω= 2分2、（本题15分）已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2/x k f -=，k 是比例常数．设质点在0x x =时的速率为0v ，且向x 轴正方向运动，（0x 、0v 均大于零）。
试求（1）质点能到达的最远位置坐标m ax x ；（2）当质点在该引力的作用下，由0x 处运动到20x 处时引力做的功； （3）若以0x 处为该引力场的零势能点，求质点在20x 处的引力势能。
解：（1）由 2x kdx dv mv dt dv mf -=== 2分 得： dv k mvdx x v x x ⎰⎰=-020max 01 2分解此方程得： 200max 22v mx k kx x -= 2分 （2） 因为 dx x kdx f dA 2-=⋅= 3分所以 02200x kdx x k dA A x x =-==⎰⎰ 2分（3）由保守力做功=势能的减少量，可得 ()()200x E x E A P P -=0x k=2分 其中()0x E P 和()20x E P 分别是质点在0x 处和20x 处的引力势能，由题意，令()0x E P =0，得：()20x E P 0x kA -=-= 2分3、（15分）发射地球同步卫星时，先要让卫星在一个大的椭圆形转移轨道上运动若干圈，如图所示。
设卫星质量=m 500kg ，椭圆轨道近地点的高度为=1h 1400km ，远地点的高度（也就是同步轨道的高度）km 000 362=h 。
当卫星在转移轨道上运动到远地点时再利用火箭推力使之进入同步轨道。
已知：地球赤道半径km 6378=R ，地球质量=M 5.982410⨯kg ，万有引力常量G 2211kg m N 1067.6--⋅⋅⨯=。
试求：（结果保留3位有效数字）（1）以无限远处为引力势能的零势能点，求卫星在同步轨道上运动时的机械能。
（2）卫星在转移轨道上运动时，它在近地点的速率1v 和远地点的速率2v 。
解：（1）设卫星在同步轨道上运动时的速率为t v ，则()2222h R v m h R mMG t +=+ 22h R M G v t += 2分 所以机械能： 2221h R Mm G mv E E E t P K +-=+= 3分22h R MmG +-=J 1035.29⨯-= 2分 （2）卫星在转移轨道上运动时满足角动量守恒和机械能守恒，所以有 ()()2211h R mv h R mv +=+ 2分2221212121h R Mm G mv h R Mm G mv +-=+- 2分 解此方程得： ()()=++++=121212h R h h R h R GM v 58.6s m /103⨯ 2分()()=++++=221122h R h h R h R GMv s m /1021.13⨯ 2分4．（本题12分）质量为1m 和2m 的两物体A 、B 分别悬挂在如图所示的组合轮两端。
设两轮的半径分别为R 和r ，转动惯量为别为1I 和2I ，轮轴上的摩擦可以忽略不计，轮与绳之间没有相对滑动，轻绳不可伸长。
试求两物体的加速度和绳的张力。
转移轨道解：两物体和组合轮的受力如图所示，由牛顿运动定律和转动定律,可得： 1111a m T g m =- 1分2222a m g m T =- 1分 ()α2121I I r T R T +=- 2分αR a =1 2分 αr a =2 2分求解上述方程组，可得gR rm R m I I rm R m a 222121211+++-= 1分 gr rm R m I I rm R m a 222121212+++-= 1分 g m r m R m I I Rr m r m I I T 1222121222211++++++= 1分 gm r m R m I I Rr m R m I I T 2222121121212++++++=1分5. （13分）一个摆锤由一根长为l 质量为m '的匀质细棒和一个质量也为m '的锤B 固定铆接组成，该摆锤能够在竖直平面内绕O 点无摩擦地转动，如图所示。
质量为m 的弹丸A 穿过摆锤后速率由v 减小到2v 。
如果摆锤能在竖直平面作一个完整的圆周运动，试求弹丸的最小速率v 。
解：摆锤对O 轴的转动惯量为： 2223431l m l m l m I I I '='+'=+=锤杆 3分 以弹丸和摆锤作为一个系统，弹丸A 在穿过锤B 的瞬间，系统的角动量守恒，即 02ωI l vmmvl += 4分 在摆锤上摆到最高点的过程中，假设角速度恰好为0，由机械能守恒，得()gl m l g m gl m gl m I '='+'='+27223212120ω 4分 由此可解的，弹丸的最小速度为 gl mm v 24'= 2分6、（本题15分）在光滑的水平桌面上有一个弹簧振子，振子质量g m 100=，弹簧的劲度系数N/m 10=k ，振幅为10cm 。
当0=t 时，位移为=0x 0.5-cm ，且向X 轴正方向运动。
试求：(1) 振子的振动表达式；(2) 0.1=t s 时，振子的动能及系统的总能量。
解（1）由题意知，m 10.0=Arad/s 1010.010===m k ω 2分又0=t 时 m 05.0cos 0-==ϕA x 1分 0sin 0>-=ϕωA v 1分 由此得4πϕ= 2分所以振动方程为 ()m 3410cos 10.0π+=t x 2分 （2）因为物体的振动速度为()m /s 3410sin 0.1π+-==t dt dx v 2分动能 ()J 1099.43410sin 1.02121222-⨯=+⨯⨯==πmv E K 2分 总能量 J 100.51.0102121222-⨯=⨯⨯==KA E 3分注：因振动方程错误，导致动能求错时，若没有新的错误不扣分。