r2
w2 z
exp
i
kz
arctan( z w02
)
exp[i
r2 ] 2R(z)
2.基模高斯光束的相移和等相位面分布
基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
x,
y,
z
k
z
r2 2R(z)
arctan
z w02
它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点(0,0)处的相位滞后
R(z) 符号意义为：如果R>0，则球面轴线上的半径方向为z正方向； 如果R<0，则为z负方向。
3
u0
x,
y, z
w0
wz
exp
r2
w2 z
exp i
kz
z arctan( w02
) exp[i
r2 ]
2R(z)
式中：
wz w0
1
z w02
2
w0
1
z z0
2
与轴线交于z点 的等相位面上 的光斑半径
11
二、高阶高斯光束
一）在直角坐标系下的场分布(方形孔径)
高阶高斯光束场的形式：由厄米多项式与高斯函数乘积描述
umn
x,
y,
z
Cmn
w0
wz
Hm
2x
w(
z)
Hn
2y
w(z)
exp
r2
w2
z
exp
i
kz
(1
m
n)
arctan
z w02
exp
i
r2 2R(z)
w0
2
1
z zR
4. 远场发散角
远场发散角：z 高斯光束振幅减小到中心最大值1/e 处(对应光斑半径w(z)的定义)与z轴的交角
lim
2w(z) 2 2 2 w0
z z
z0 w0 zR
包含在发散全角范围内的功率占高斯基模光束总功率的86.5％
9
高斯光束的腰斑和远场发散角
14
3. 高阶模的光斑半径和远场发散角
在x,y方向的光腰尺寸为
wm2 2m 1 w02, wn2 2n 1 w02
在z处的光斑尺寸为
wm z 2m 1w z, wn z 2n 1wz
在x,y方向的远场发散角为
lim m
z
2wm (z) z
2m 1 2 w0
2m 10
lim n
z
2
一、基模(TEM00模)高斯光束的基本性质
在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程：
u0 k 2u0 0
波动方程的一个特解叫做基模(TEM00模)高斯光束：
u0
x,
y,
z
w0
wz
exp
r2
w2 z
exp i
kz
arctan(
z w02
)
exp[i
r2 ] 2R(z)
kz 描述几何相移
z
arctan(
w
2 0
)
kr 2
2R(z)
描述高斯光束在空间行进距离z时相对几何 相移的附加相位超前
描述与径向有关的相移，表明高斯光束的等相位 面是以R为半径的球面
6
近轴条件下，沿高斯光束轴线每一点处的等相位面为半径为R的
球面:
R(z)
z (1
w
2 0
)
z[1 ( z 0 ) 2 ]
2 1 w0 w0
腰斑小，光束发散得快，发散角大; 腰斑大，光束发散得慢，发散角小
10
小结：高斯光束的基本性质
1. 高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均 匀高斯球面波
2. 在其传播过程中曲率中心不断改变 3. 其振幅在横截面内为一高斯光束 4. 强度集中在轴线及其附近 5. 等相位面保持球面
13
2. 高阶模的总相移、波面的曲率半径、光斑半径
高阶模的总相移与模阶数m和n有关，表示为
x,
y,
z
k
z
r2 2R(z)
(1
m
n)
arctan
z w02
相移因子随模阶数的变化导致了谐振腔中不同横模之间谐 振频率的差异
高阶模波面的曲率半径R(z)与模阶数m和n无关，说明在同一传 播距离z处，各阶厄米－高斯光束波面的曲率半径都相同，且随 z的变化规律也相同。
z
z
束腰处的等相位 面为平面，曲率
讨论： z 0
R
中心在无穷远处
z z0
z z0
z
R(z) 2z0 为最小值 在远场处可将高
R(z) z
斯光束近似为一 个由z=0发出，半
径为z的球面波
R
无穷远处等相位面
为平面，曲率中心
在z=0处
7
3. 瑞利长度
光斑半径、曲率半径随z的变化规律为：
wz w0
在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心向外
平滑降落。
根据振幅降到中心值的1/e的点定义光斑半径w(z) ，其随z的变化
规律为：
wz w0
2
1
z
w
2 0
w0
1
z z0
2
光斑半径随着坐标z按双曲线规律变化：
w 2 z z 2 1
w
2 0
z
2 0
5
u0
x,
y,
z
w0
wz
eபைடு நூலகம்p
—— 垂直于光轴的横截面上场振幅的厄米－高斯分布 —— 高阶模的总相移
12
1.垂直于光轴的横截面上的厄米－高斯分布
高阶高斯光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的分布 由厄米多项式与高斯函数的乘积决定：
exp
r2
w2
z
Hm
2x w(z)
Hn
2y w(z)
对应着不同整数m和n，场振幅的横向分布不同。 厄米－高斯光束沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。
2
1
z w02
w0
1
z z0
2
R(z)
z (1
w
2 0
)
z[1
( z0
)2 ]
z
z
当 z z0 时
w
z0
2w0
R(z) 2z0
从最小光斑面积增大到它的二倍的范围是瑞利范围
从最小光斑处算起的这个长度叫瑞利长度ZR 瑞利长度等于共焦参数
z0
w02
=zR
8
w z w0
2
1
z w02
物理学专业选修课
激光技术与应用
第四章 高斯光束
1
高斯光束
对于任意的非稳定腔，可以通过研究与其对应的共焦腔的特征模 来研究它的模的性质。由于共焦腔的行波场是高斯光束，因此， 高斯光束的性质对于稳定腔的行波场具有代表意义，因此来单独 讨论高斯光束的主要性质。
•高斯光束的基本性质 •高斯光束在自由空间的传播规律 •高斯光束的变换 •高斯光束的聚焦与准直 •高斯模的匹配
2wn (z) z
2n 1 2 w0
2n 10
高阶光束的光斑半径和光束发散角随模阶数m和n而增大。
15
二）在圆柱坐标系下的场分布(圆形孔径)
赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解，对应着具有圆对
称光学谐振腔的振荡模式。
R(z)
z(1
w
2 0
)
z[1
(
z0
)2
]
z
z
与轴线相交于z点 的高斯光束等相位
面的曲率半径
z0
w
2 0
w0:基模光束腰斑半径
z0:高斯光束共焦参数
u0
x,
y,
z
w0
wz
exp
r2
w2 z
exp
i
kz
z arctan(
w02
)
exp[i
r2 ]
2R(z)
1.基模高斯光束的振幅分布