(3)共心腔
满足条件 R1十R2＝L的谐振腔称为共心腔， 因这时腔的两个镜
面的曲率中心互相重合。
g1＝1
L R1
R2 R1
g2＝1
L R2
R1 R2
g1g2 1
通过公共中心的光线能
在腔内往返无限多次，且
一次往返即自行闭合。
所有不通过公共中心的
光线在腔内往返有限多次 后，必然横向逸出腔外。
平行平面腔、共心腔可称为介稳腔。
即
1（A＋D）＝ 2
1
＝acr cos 12（A＋D）＝K
g1g2＝1或者g1g2＝0
临界腔
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
常见的几种临界腔 (1) 对称共焦腔 满这足时条腔件的R中l＝心R即2＝g为1＝L两g的2＝ 个谐0镜振面g腔1g的2称＝公0为共对焦称点共。焦对腔称，
共焦腔满足
任意徬轴光线均可在腔内往返无限多次而不致 横向逸出，而且经两次往返即自行闭合。共焦 腔应属于稳定腔。
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
(2)平行平面腔
此时有R1=R2＝∝， g1＝g2＝1 g1g2＝1
1.腔中沿轴线方向行进的光线能往返无限多次而不 致逸出腔外，且一次往返即实现简并(形成闭合光 路)． 2.沿非轴向行进的光线在经有限次往返后，必然从 侧面逸出腔外，这又与非稳腔相像。
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
说明：光传输中，r ,θ可能发生变化，而变化后
的r 、θ可用一个ABCD传输矩阵与初始光线的矩
阵相乘得到。
2、自由空间的平移矩阵
A处：r0，0 B处：r’，’
r0 ,0
B
A
r,
L
r r0 Lθ0 θ θ0
则自由空间的平移矩阵为：
r A
பைடு நூலகம்
θ
C
B
D
r0 θ0
TL
r0 θ0
线），谐振腔是何种腔（稳定腔、临界腔、非稳腔）?
思路：写出传输一周的ABCD矩阵
判断
1 < A D < 1 2
？
0 < g 1 g2 < 1 g 1 g2 > 1
非稳腔
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
解： 设凸面镜与凹面镜的曲率半径分别为 R1和R2 ，
当腔内未插入其他透明介质时
(1 L )(1 L ) (1 1 )(1 1) 1
§2.1 光腔理论的一般问题
腔精细度F及线宽
自由光谱区（FSR）
q c
c ：腔线宽
E0 t1Ein
Ecav
E0 1 g
g
R1R2e p ei
1
2
FSR Finesse
Finesse
gm
1 gm
1
P cav Pmax 1 (2F )2 sin2 ( )
§2.1 光腔理论的一般问题
三 光腔的损耗
I0 (e2
)m
I
e2
0
m
m t 2L / c
t时刻的光强为
t c
I (t) I0e L
t
I0e R
R
L
c
物理意义:
当 t R
时，
Im
I0 e
可见， 越大， R 越短，腔内光子数衰减越快！
R 也可看成腔内光子的平均寿命。
§2.1 光腔理论的一般问题
t
I(t) I0e R 设t时刻光子数密度为N I(t)=Nh v
r
1 2
[(1
r1
)
(1
r2
)]
当r1≈1，r2≈1时，
§2.1 光腔理论的一般问题 损耗举例2：（腔镜倾斜时的几何损耗）
m D
2L
c
2DL
L
c
L
2D
以D=1cm，L=1m计算，如果要求损耗低于0.01
2106 rad 0.4
§2.1 光腔理论的一般问题
损耗举例3：（衍射损耗）
1.22
1
TL
0
L
1
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
3、界面的折射矩阵
入射 r0,0
r r0
出射 r,
θ
n1 n2
θ0
n1
n10 n2
1 0
TS
0
n1
n2
4、球面镜的反射矩阵Tr
0
1
Tr
-
2 R
01
对于薄透镜有 类似的关系
n2
r2 r1
10
TR
f11
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
R1
R2
2 3
即 g 1 g2 1
该腔为临界腔
当腔内插入其他介质时，设该介质的长度为l，
该介质卓有两边剩余的腔内长度分别为l1和l2，
则 l1 l l2 L 。设此时的等效腔长为 L ，则
1 0
L 1
1
0
l2 1
1
0
0 1
0
l 1 1 0
0 1
1
/
0
l1 1
1
0
l2
l
l1
折叠腔、环形腔 复合腔－腔内加入其它光学元件，如透镜，F－P标准具等
§2.1 光腔理论的一般问题
折叠腔
l3
l2
l1
环形腔
染料调Q装置示意图
M3
KTP
M4
Pump
808nm M1
Nd:YVO4 TGG /2
Output M2 671nm
Fig.1 The schematic design of all-solid-state green laser of single-frequency operation
衍射损耗及输出损耗分别引起的δ、 c、Q、 (c设n=1)
解： 衍射损耗:
L
a2
10.6 106 1 (0.75 102 )2
0.188
c
L
c
1 0.188 3108
1.75108 s
Q
2 c
3 108 2 3.14 10.6106
1.75 108
3.11 106
c
1
2 c
1 2 3.14 1.75 108
第二章 开放式光腔与高斯光束
1 利用ABCD矩阵分析光腔稳定性 2 腔与模的关系分析 3 高斯光束的基本性质 4 q参数应用
§2.1 光腔理论的一般问题
一 光腔的构成和分类
1、开腔： 稳定腔、非稳腔、临界
腔
F-P腔：最早提出来的平行平面光腔 共轴球面腔(b) 2、闭腔：介质腔(a) 3、气体波导激光谐振腔 4、光腔的其它分类
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
2)φ为虚数
1 2
(A
D)
>
1即g1 g2
>
1
或者1 2
(A
D)
<
1即g1 g2
<
0
当φ值为复数时,由于有虚部,必然导致sinφ与sin(n-1)φ的值
随n的增大按指数规律增大。从而使rn 、θn 的值也随n增 大按指数规律增大。傍轴光线在腔内往返有限次后必将横
向逸出腔外。
6、共轴球面腔中光线往返n次的变换矩阵 T n 由Sylvester定理有:
rnn
T
T
r00
Tn
r00
An Cn
Bn Dn
r00
Tn
1
sin
Asin
n
C
sin n
sin n
1
Dsin
Bsin n
n sin n
1
其中：
arccos
1 2
A
D
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
变换矩阵 T n 的特点 ①往返矩阵与初始坐标无关，可用来描述任意 傍轴光线在腔中的传播行为。
倾斜因子
u
x, y
ik
4
u
S
x', y' eik
1
cos ds'
§2.3 开腔模的衍射理论分析方法
3、稳态场的形成——模的“自再现”
镜1上的场分布，到达镜2时，由于衍射，要经历一次能量的 损耗和场分布的变化，中间能量损失小，镜边缘损失大。每 单程渡越一次，都会发生类似的能量损耗和场分布变化。多 次往返后，从而逐渐形成中间强、边缘弱的基本不受衍射影 响的稳态场分布。该稳态场分布一个往返后可“自再现”出 发时的场分布，唯一变化是镜面上各点的场振幅按同样的比 例衰减，各点相位滞后2 的整数倍。
1
3 / 4 3 / 4 33
L 0.5 0.5 / 2 3 / 4(m)
g 1 g2 (1 2 )(1
) >1 3 32
§2.3 开腔模的衍射理论分析方法
一、开腔模的一般物理概念 1、理想开腔模型
两块反射镜面放在无限大的均匀的各向同性介质中。
在开腔中是否存在电磁场的本征态或不随时间变 化的稳态场分布?如何求场分布?
定义二 :
Q R
2 L' c
定义三 :
Q
c
激光的单模线宽
小结：损耗越大， Q值越小。
§2.1 光腔理论的一般问题
损耗举例1：（由镜反射不完全引起的损耗）
初始强度为I0的光，在腔内经两个镜面反 射往返一周后，其强度应为
I1 I0r1r2 I0e2r
r
1 2
ln(
r1r2
)
1 2
(ln
r1
ln r2 )
t
N(t) N0e R
在t～ t+dt内减少的光子数密度为
dN