x A cos( p t )
A
f (02 p2 )2 4 2p2
t
dA 0 d p
x A0 e
cos(t ) A cos( p t )
28
物理学
第五版
谐运动分析(三)
共振频率
r | 2 |
2 0 2
A
共振频率 小阻尼 阻尼 0
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ， 1, )
x
A1
x
2
o
o
T
t
x ( A2 A1 ) cos( t ) A A1 A2 2 1 (2k 1)π
4

A
A2
物理学
第五版
物理学
第五版
谐运动分析(三)
两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与 两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
A2
2
O
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
x2
1
x1
A1
x
两振动的位相差 2 1 =常数
1
物理学
第五版

5
解 （2） 有阻尼时 A' Ae t ln( 1 ) 0 . 9 t t 174 s 3 min 0.9 A Ae 1
1
E 0.9E, t ? （ 3）
E ' A ' （ 3） ( ) 2 e 2t E A 1 ) ln( 2t 0.9 87 s 1.5 min 0.9 e t2 2
23
物理学
第五版
谐运动分析(三)
已知 l 1.0 m, r 5.0 103 m, 2.65103 kg m3
20 C, 1.78 10 Pa s 求（1）T

5
1 解 （ 1） 0 g l 3.13 s
Fr 6 π rv Cv
C 2m 9 4r 6.04 10 s
2
31
物理学
第五版
谐运动分析(三)
无阻尼自由振荡中的电荷和电流随时 间的变化 q i
π 2
Q0 I 0
O
﹡ π
2π
﹡
(t )
π q Q0 cos(t ) i I 0 cos(t ) 2
32
物理学
第五版
谐运动分析(三)
Q0 q Ee cos2 (t ) 2C 2C 2 Q0 1 2 1 2 2 2 Em Li LI 0 sin (t ) sin (t ) 2 2 2C 2 1 2 Q0 E Ee Em LI 0 2 2C 在无阻尼自由电磁振荡过程中，电场能 量和磁场能量不断的相互转化，其总和保持 不变.

o A1 A2 A3 A4 A5 x
A
xN A0 cos[ t ( N 1) ]
(1) 2kπ 讨 (k 0,1,2,) 论 (2) N 2k ' π
(k ' kN, k ' 1,2,)
A Ai NA0
8
物理学
第五版
谐运动分析(三)
用旋转矢量描绘振动合成图
9
物理学
第五版
谐运动分析(三)
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
10
物理学
第五版
谐运动分析(三)
*三
多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )

2 4
1
0 2π 2π T 2s 2 2 0 0
24
物理学
第五版
谐运动分析(三)
已知 l 1.0 m, r 5.0 103 m, 2.65103 kg m3
A 0.9 A, t ? 20 C, 1.78 10 Pa s 求（2）
2
驱动力的 角频率
x A0 e t cos(t ) A cos( p t )
f A 2 2 2 2 ( 0 p ) 4 p
tan
2 p
02 p2
27
物理学
第五版
谐运动分析(三)
三
2
共振
d x dx 2 2 0 x f cos p t 2 dt dt
A3 A
1 A1
xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x A cos( t )

2
A2
3
o
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为 简谐运动
11
物理学
第五版
谐运动分析(三)
x1 A0 cost x2 A0 cos( t ) x3 A0 cos( t 2 )
d x dx m 2 C kx 0 dt dt
2
19
物理学
第五版
谐运动分析(三)
d x dx m 2 C kx 0 dt dt
2
固有角频率
dx dx 2 2 x0 0 2 dt dt
2
k 0 m C 2m
阻尼系数
x Ae 振幅
t
cos( t ) 角频率
2
6
物理学
第五版
谐运动分析(三)
2 2 x y 2 xy 讨 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 论 A1 A2 A1 A2
y
2 1 0或 2 π （ 1） A2 y x A1
A2
o
A1
x
2 1 π （ 2） A2 y x A1
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐 运动的合成 x A1 cos(t 1 )
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
2
x (2 A1 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2 振幅 A 2 A1 cos 2 π
2 1
2
Amax 2 A1
t
Amin 0
15
物理学
第五版
谐运动分析(三)
x (2 A1 cos 2 π
33
三 无阻尼电磁振荡的能量 2 2
2 1
o
x2
A1 1
x1
x
x
振动圆频率
x1 x2 cost A
1t 2t
1 2
2
2 1
18
物理学
第五版
谐运动分析(三)
一
阻尼振动
阻力系数
现象：振幅随时间减小
原因：阻尼
动力学分析： 阻尼力 Fr Cv
kx Cv ma
谐运动分析(三)
小结 （1）相位差 2 1 2k π
(k 0 ， 1 ， )
加强
A A1 A2
A A1 A2
1 ， ) （2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ，
减弱 （3）一般情况 A1 A2 A A1 A2
5
物理学
共振振幅
Ar f
2 2 | 0 2 |
共振现象及 应用
o
大阻尼
0
P
29
物理学
第五版
谐运动分析(三)
振荡电路
无阻尼自由电磁振荡
L
Q0 + C L E
Q0
E
C
Q0
L
C
ε
+ Q0
A
B
L C
L
C
S
LC 电磁振荡电路
C B
B
D
30
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二
L
无阻尼电磁振荡的振荡方程
i
A5
A0
A 2 O A6 A x 1

A4 A3
12
物理学
第五版
谐运动分析(三)
四 的合成
两个同方向不同频率简谐运动
13
物理学
第五版
谐运动分析(三)
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
2

25
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二
受迫振动
d2 x dx m 2 C kx F cos p t dt dt
0
2
k m
驱动力
2 C m
f F m
d x dx 2 2 0 x f cos p t 2 dt dt
26
物理学
第五版
谐运动分析(三)
d x dx 2 2 0 x f cos p t 2 dt dt
O
x2
1
x1
1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 为同频率的简谐运动
2
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（1）相位差 2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)