14.1平方根（第2课时）
教学设计思想：
平方根及算术平方根是两个重要的概念，是全章的教学重点.学生对平方根及算术平方根的概念常常混淆，因此，在教学中引导学生真正理解这两个概念的本质是什么，并能分清它们的区别与联系，这是两节课的主要教学目标.在教学设计中，力求在以下两方面突出特点：
1．引导学生建立清晰的概念系统，首先在第1课进要求学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示法；其次在第2课时专门讨论算术平方根的概念及其表示.对于a表示a的算术平方根的条件是，被开方数a表示非负数，而a本身也表示非负数，因此在教
学中不能要求学生死记硬背，要向学生说明规定的合理性.为此，提出算术平方根的一种几何解释，即面积为a的正方形(a为正数)，它的边长为a(a也是正数)，从而直观、形
象地说明了算术平方根约定的合理性.
2．编选了有针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中.
教学目标：
知识与技能：
1．能说出平方根和算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。

2．知道开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根。

3a表示的是非负数a的平方根。

过程与方法：
1．通过对比体会平方根、算术平方根的联系和区别；
2．在学习开平方运算求一个非负数的平方根、算术平方根的过程中，体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系．
情感态度价值观：
进一步感受到所学数学知识之间的内在联系．
教学重难点：
重点：平方根和算术平方根的概念和求法.
难点：弄清平方根与算术平方根的意义
教学方法：
探究学习
课时安排
2课时
教学用具
多媒体
教学过程：
第２课时
一、复习引入：
问：1．625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？2．－7和7是哪个数的平方根？
3．正数m的平方根怎样表示？
4．下列各数的平方根各是什么？
(1)64；(2)0；(3)(－0.4)2；(4)
2
3
2
1⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-；(5)－16；(6)(－4)3.
答：
1．625的平方根是25和－25，这两个平方根的和是0. 2．－7和7是49的平方根.
3．正数m的平方根表示为m
±.
4．(1)64的平方根是±64=±8.
(2)0的平方根是0.
(3)因为(－0.4)2=0.16，所以它的平方根是±16
.0=±0.4.
(4)因为
2
3
2
1⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-=
2
3
5
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-=
9
25
，所以
2
3
2
1⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-的平方根是±
9
25
=±
3
5
.
(5)因为－16<0,所以－16没有平方根.
(6)因为(－4)3=－16<0,所以(－4)3没有平方根.
问：已知正方形的面积等于a,那么它的一条边长等于多少？
答：设正方形的一条边长为x，则x2=a,根据平方根的定义，x=±a.因为正方形的边
长是正数，所以正方形边长为a.
二、讲解新课
正数a有两个平方根(表示为a
±)，我们把其中正的平方根，叫做a的算术平方根，表示为a.
0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即0=0.
用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义，如图所示，面积为a(a应是非负数)、边
长为a
就表示a的算术平方根.
“”是算术平方根的符号，a就表示a的算术平方根. a的意义有两点：
(1)被开方数a表示非负数，即a≥0;
(2)a也表示非负数，即a≥0.也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数.负数不存在算术平方根，即a<0时，a无意义.
如9=3，8是64的算术平方根，6
-无意义.
这里需要说明的是，算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a≥0时，a 表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根.
例如9既表示对9进行开平方运算，也表示9的正的平方根.
三、例题精选
例1 求下列各数的算术平方根：
(1)36； (2)0.01； (3) 4
49
；（4）（-16）2；.
解：(1)因为 62=36，
所以 36的算术平方根是6，
6
=.
(2) 因为 (0.1)2=0.01,，
所以 0.01的算术平方根是0.1，
0.1=.
(3) 因为 224749⎛⎫= ⎪⎝⎭
所以 449的算术平方根是27
，
27
=. (4) 因为 (-16)2=162,
所以 (-16)2的算术平方根是16，
16=.
注意：100的平方根是10和－10，而其算术平方根是10.
例2 求下列各式的值：
(2)
(3)； (4)
分析：只要求的一个正数的算术平方根，那么这个数的负的平方根就是它的算术平方根的相反数。

解：(1) 因为1.32=1.69，
所以(2) 因为252=625，
所以 －25.
(3) 因为121
25)115(2=， 所以 11
512125=. (4) 因为(-17)2=172，
所以 －17.
注意：由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数
的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a ≥0(当a<0时，a 无意义).
四、随堂练习:
1．课后练习1，2
2．求下列各式的值： (1)1; (2)－9
4; (3)21.1; (4)－2
32⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 五、小结 平方根和算术平方根是初中代数中的两个重要概念，全面掌握它，就必须分清它们的区别，认清它们之间的联系.
1．平方根和算术平方根的区别.
（1）定义不同.如果x 2 =a,那么x 叫做a 的平方根.
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.
如果x 2 =a,并且x ≥0，那么x 叫做a 的算术平方根.
一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数.
（2）表示方法不同.正数a 的平方根，表示为±a .正数a 的算术平方根为a .
（3）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是0或1.
2．平方根和算术平方根的联系.
(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个.
(2)存在条件相同.非负数才有平方根和算术平方根.
(3)零的平方根和零的算术平方根都是零.
六、板书设计。