莫比乌斯带
拓扑学之旅
Topology
小教4班 郑梦珂 朱桃
简介概要
应用实例
拓扑学
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拓扑简介
拓扑学（topology）是近代发展起来的一个数 学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变 化下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为 数学中一个非常重要的领域。 有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了 。那时候发现一些孤立的问题。后来在拓扑学 的形成中占着重要的地位。譬如哥尼斯堡七桥 问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓 扑学发展史的重要问题。除去七桥问题，四色 问题，欧拉定理等，拓扑学中还有很多有趣并 且很基本的问题。例如还有纽结问题，维数概 念，向量场问题，不动点问题。
解答与分析
妮薇先抓住绕在自己手上的绳子的中间部分，然后将绳子穿过诺曼右手 腕A的绳圈，穿越的方向是从手腕的内部顺着手肘的方向到手掌端，随 后将绳子回绕过手掌而伸出到手的外侧。此时妮薇就可和诺曼分开了， 在场的人也会惊讶不已。
他们的手腕仍然绑着，可是两人已经没有被绑在一起了。要注意的是，
如果没有完全依照文中的指示，将会使两条绳子纠缠得更严重。
纽结问题
纽结理论是数学学科代数 拓扑的一个分支，按照数 学上的术语来说，是研究 如何把若干个圆环嵌入到 三维实欧氏空间中去的数 学分支。纽结理论的特别 之处是它研究的对象必须 是三维空间中的曲线。在 两维空间中，由于没有足 够的维数，我们不可能把 让一根曲线自己和自己缠 绕在一起打成结；而在四 维或以上的空间中，由于 维数太多，无论怎么样的 纽结都能够很方便地被解 开成没有结的曲线。
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• 在一次聚会中，诺曼和妮薇如图中所示被两条
绳子缠绕在一起。大家试着把他们两个分开，
但不可以解开绳结或把绳子剪断。 • 现在将他们两人的处境说得更清楚一点，首先 绳子的一端绕在诺曼的右手腕A上，另一端绕着 他的左手腕B。另一条绳子的一端绕在妮薇的左 手腕P上，穿过诺曼的绳子后再将另一端系在她 的右手腕Q上。 • 你可以找个朋友试试看，乍看之下似乎不太可 能分得开，事实上有一个相当巧妙的方法可以 使你脱离困境，而且不需使用任何特殊技巧。
概念
考虑一个曲面到自身的连续 变换，即曲面的每一点被移 到该曲面上的新的位置，连 续是指互相邻近的点被移到 互相邻近的点，新旧位置相 同的点叫作这变换的不动点 。拓扑学家们发现，曲面到 自身的映射的不动点个数如 果是有限的，它们的指数的 代数和不会因对这映射做细 微的修改而改变，特别是对 于实心圆上的映射，指数和 恒为1，所以实心圆到自身的 映射总有不动点。
案例 想象你有一台精确的理想GPS ，但是屏幕严重变形，如此， 屏幕上显示一个变形且缩小的 中国地图。如果我们把中国国 土看作一个大的地图A，GPS 屏幕上的地图看作这个地图的 缩小B，那么屏幕上显示你当 前位置的点就是这个所谓的“ 不动点”。事实上，当你用地 图查找你所处的位置，就是寻 找不动点（附近）的过程，假 若你的地图又很不规则，那么 你正在做一件数学上很困难的 事情，找到不动点。
解析2：假如人类的身体可以像橡胶人一样任意变形， 那么用两手的拇指和食指做成两个套着的圆环之后，我 们可以不放开手指，把圆环给解开来。
2.在一个轮胎的表面上打一个洞。能否通过连续变换，把这个
轮胎的内表面翻到外面来？
答案Байду номын сангаас析：
三维图解
谢
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维数概念
什么是曲线？朴素的观 念是点动成线，随一个 参数（时间）连续变化 的动点所描出的轨迹就 是曲线。可是，皮亚诺 在1890年竟造出一条这 样的“曲线”，它填满 整个正方形！这激发了 关于维数概念的深入探 讨，经过20～30年才取 得关键性的突破。
皮亚诺曲线
向量场问题
考虑光滑曲面上的连续的切向量场，即在曲面的每 一点放一个与曲面相切的向量，并且其分布是连续 的，其中向量等于0的地方叫作奇点。例如，地球 表面上每点的风速向量就组成一个随时间变化的切 向量场，而奇点就是当时没风的地方。这是拓扑学 中的庞加莱-霍普夫定理。
例如，如果妮薇的绳子在回绕到P点时，从Q点下绕诺曼的绳子，然后妮
薇必须依上述方法在诺曼的左手上动作，而非右手。
注意游戏规则：我们假设所有物体都是用橡胶做成的，可 以随意地拉伸、挤压、弯曲，但不允许切断、粘连等任何 改变图形本质结构的操作。
1. 能否把左图连续地变形为右图？ 解析1： 答案是可以的，如下图所示：
建筑学应用
在西方当代建筑中,一股 以变形为形态和空间倾向 的建筑潮流正在悄然兴起 。连续和曲线性开始取代 断裂与冲突,成为新的建 筑话语。拓扑学提供给设 计者奇特的几何实体为灵 感来源和空间结构图示; 拓扑学的某些概念启发了 建筑师思考,催生了流动 的、粘质的和连续的建筑 形式;拓扑学的分析方法 是人们重新认识了空间结 构。拓扑学的思维方式和 设计过程式建筑获得了动 态性,反映了周边环境的 影响,重组了社会空间结 构。