自适应信号处理课后题答案1．求下列R 的特征值设(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4202630341R (2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2)3/exp(6)3/exp(632ππj j R解：(1)令λ为R 的特征值，则 (2)令λ为R 的特征值： 0)d e t (=-I R λ 0)d e t (=-I R λ即：042263034=---λλλ即：02)3/exp(6)3/exp(63=---λππλj j于是R 1的三个特征值分别为： 于是R 2 的两个特征值为： 1451454321－＝，＋＝，λλλ= 5,021==λλ2．证明任何两个实数的单输入自适应线性组合器的特征向量矩阵均为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111121Q 证明：由已知条件知相关矩阵为R ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a b b a R 则R 的特征值为：b a b a -=+=21,λλ当b a +=1λ时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[11q x =当b a -=2λ时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[22-=q x 则特征向量为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111121Q3．如图3.1所示，若自适应系统的输入和期待响应分别为：(1))6/2cos(],6/)1(2sin[),6/2sin(10k d k x k x k k k πππ=-== (2)6/)]5.1(2[]6/)2(2[]6)1(2[1)6/2(04,,2--+-=+==k j k k j k j k k j k e d e e x e x ππππ试计算最佳权向量和最小均方误差输出，并说明在两种情况下的自适应系统有什么不同？解：(1)由题中条件知：5.0][20=k x E 5.0][21=k x E[]25.010=*k k x x E[]00=k k x d E 4/3][1-=k k x d E 于是输入相关矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.025.025.05.0R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4/30P 则最优权为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==*-1547.15774.01P R W opt最小均方误差为：3889.0][2min -=-=opt T k W P d E ζ (2)由题中已知条件知：4][20=k x E 6/26/2212][ππj j k e e x E -++=6/308][πj k ke x d E =*6/6/144][ππj j k k e e x d E -*+= 6/46/21022][ππj j k k e e x x E --*+= 6/46/21122][ππj j k k e ex x E +=* 于是输入相关矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=---6/26/26/46/26/46/2222224ππππππj j j j j j e e e e e e R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-6/6/6/3448πππj j j e e e PR 的逆不存在， 则最优权为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=j c c W o p t 3234最小均方误差为：0][2min =-=opt T k W P d E ζ区别：(1)中输入为实数信号，得到的权值也实数权，(2)中输入为复数信号，权值为复数权4．设信号的相关矩阵和噪声的相关矩阵分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2)3/e xp (6)3/e xp (63ππj j R s及I R n 05.0=，试计算MSN 性能测度的最佳权向量解和输出最大信噪比。

解：由已知条件知：系统输出的信噪比SNR 为瑞利商形式，可表示为WW WR W S N R Hs H 20= 最大信噪比输出时系统的权向量应为信号相关矩阵R s 的最大特征值对应的特征向量，而0]d e t [=-I R s λ即：02)3/e x p (6)3/e x p (63=---λππλj j5,021==λλ 当01=λ时，得到的特征向量为：]261[3/00πj e c q --= 当52=λ时，得到的特征向量为：]361[3/11πj e c q = 自适应最大信噪比时输出时的权向量为： ]361[3/1πμμj M S N e q W '== 最大输出信噪比为：1003613613612663361203/3/3/3/3/3/max =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-ππππππj j j j j j e e e ee e SNR5．设某一实单变量性能表面由下式给出：1144.02++=ωωξ试问收敛参数在什么样的范围内取值可得到一条过阻尼权调整曲线。

解：由性能函数)(ωξ对权值ω的二阶导数可以得到：λωζ28.022==d d 其中λ为系统输入的功率当121<-=μλγ时迭代过程收敛，且当18.010<-<μ即25.10<<μ时为过阻尼状态。

6．已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112R ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=78P 试用式(4.16)和式(4.37)分别写出最陡下降法与牛顿权调整公式的显式，并由此解释互耦的概念解：对于最陡下降法，由公式)(1k k k W W -∇+=+μ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++782412241,1,01,11,0μμμμμk k k k w w w w 对于牛顿法，由k k k R W W ∇-=-+11μ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232)21(,1,01,11,0μμk k k k w w w w 对于最陡下降法，权系数的第一分量迭代过程不仅与第一分量有关系还与第二分量有关系，是耦合的。

而牛顿法只与本分量有关，是去耦合的。

7．一个复权自适应系统其性能表面由下式给出：23)Re(2052+-=ωωξ求最小均方误差opt ωξ,min 与λ的值，若让权围绕5.05.1j +=ω以扰动量为0.1=δ 进行扰动，求性能损失β和扰动P 。

解：由单复权的性能表面为： 2m i n )(opt ωωλξξ-+= 对比已知条件知：5=λ，3min =ξ 2=o p t ω 由公式知：52==λδβ 35m i n ==ξβP 8．在某种情况下，自适应线性组合器的输出误差服从均值为零、方差为3的正态分布。

如果均方误差是基于误差的10个样本进行估值的，试求估值的方差。

解：由已知条件可知：10,3,02===n m σ得到： 6.3)(4)/1(/21)~v a r (222222222=+=⋅++=N m N m m σξσσξ估值的方差为3.69．给定题7的条件，假设在每个扰动后权的设定点上基于5个误差的观察值来估计梯度的实部和虚部分量，若复误差输出k ε是零均值正态分布的，求梯度估值的方差。

解：对于复权系统的梯度估值;[])()()()(41~v a r 22222δξδξδξδξδξ++-++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂a a b a v v v v E N v 又j w w v opt 5.05.0+-=-= 即5.0,5.0=-=b a v v 且 0.1=δ 5=N则梯度估计的方差为：656.2~var =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂v ξ10．若D 为一对角矩阵，则∑∞=--=01)(n nD I D成立的条件是什么？当D 不是对角矩阵时结果正确？如果是正确的，条件是什么？解：当D 为对角矩阵时，式子成立的条件是：对角线元素收敛，即0lim =∞>-nii n d当D 不是对角矩阵时，式子成立的条件是D 为收敛矩阵，即1<D11．对于一个单实权的自适应系统，设自适应增益常数01.0=μ，输入信号的均方值为2，试问权调整和学习曲线的时间常数各为多少？ (a)最陡下降法 (b)牛顿法解：(a)权调整常数为：2504.0121===μλτ 学习曲线的时间常数5.122==ττmse(b)权调整常数为:5002.0121===μτ 学习曲线的时间常数252==ττmse12．对题9给出的条件，设μ取它最大稳定值的一半，且N =10个误差观测值，求超量均方误差及自适应时间常数mse T 。

(1)用最速下降法 (2)用牛顿法 解：令权值为T w w W ][10=则由[]22kT T d E P W RW W +-=ε与已知条件可知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=87P []422=k d E则：[]Topt P R W 321==*- []42m i n =-=o p tTkWP d E ξR 的特征值为：3,110==λλ得2min25.0δξδλ==av P对最速下降法：μ为最大稳定值得一半5.0=μ 6/1/1m a x =λ05.0)1()1(=+=L N T avav mse μλ 2min 252)1(4)1(δξ=+=av mse T P L excMSE对牛顿法：5.0=μ4021)1(2)1(2=+=+=μτNL N L T mse 4011=mse T 2min 2152)1(4)1(δλξ=+=av mse PT L excMSE 13．设有两个实权得自适应线性组合器，输入x 有[]32=k x E ，[]21=-k k x x E 每次选迭代用80次误差观测，扰动05.0=P ，自适应增益常数01.0=μ，求两种情况下得失调。

(1)最速下降法 (2)牛顿法解：由已知条件知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3223R 对R 进行特征值分解得：5,110==λλ 对于最速下降法：4875.12*80)51(*5.0*01.0)1()1(-=+=+=e L N T av av mse μλ 失调为 0037.0)1(4)1(2=+=av mseT P L M对于牛顿法：1600001.01*80*221)1(2)1(2==+=+=μτNL N L T mse 失调：0019.0)5/11(*5.0*)51(*5.0*16000*05.0*42)/1(4)1(22=++=+≈av av mse PT L M λλ14．给定图6.6系统辨识结构，试用式(6.36)给出自适应递归滤波器LMS 算法。

解：算法 []Tk kkk b b a W 210= []Tk k kk y y x U 21--= []21v v d i a g M μ= k T k k U W y =∑=-+=21,00l l k lk k k b x αα∑=--+=21,111l l k lk k k b y ββ ∑=--+=21,222l l k lk k k b y ββT k k k k k k y d ])[(2ˆ210ββα--=∇kk k M W W ∇-=+ˆ1 15．设05.0=μ，005.01=v 及0025.02=v ，用第五章题4表示的[]k r 作输入序列，对图6.6运行IIR LMS 算法，并绘出k ε对k ，a 0k 、b 0k 对k 的变化曲线； 解：迭代次数k误差e迭代1000次的学习曲线权系数b1权系数b 216．对于二阶自适应递归滤波器，证明：)(21b b 必须处于图6.7所示的三角形区域之内才能保证滤波器稳定，即三角形相应于Z 平面上的单位圆。