静平衡位置
m
. y(t ) C sin t C .
1
2
cos t .....(d )
C2 y v C1
I(t) （d）式可以写成
设 t=0 时
y (t ) y cos t
由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦 运动的合成，为了便于研究合成运动, 令 (e)式改写成
y A

T t
0
-A
圆频率 工程频率 周期
2f
f
2 T
1 ( Hz ), T 2 2
T

,
22
计算频率和周期的几种形式
k 1 g g m m W st
频率和周期的讨论
m st T 2 2 k g
（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素 无关。干扰力只影响振幅A。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率小）； 自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改 变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反 之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用 下的动力性能基本一致。
16
一、运动微分方程的建立
方法：达朗伯尔原理 应用条件：微幅振动（线性微分方程） 力学模型 1、 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的
力，建立平衡方程。
静平衡位置
重力
W
m 质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd
. y . .y
k
S(t)
m m
j d
.y
d
W
I(t)
+
& & & & & y 惯性力 I t my t m & j yd
2个自由度
2个自由度
4个自由度
（3）结构的自由度与是否超静定无关。
静定结构
6次超静定结构
3次超静定结构
8
（4）可用加链杆的方法确定自由度。
9
习题： 1) 平面上的一个质点
4)
y1
W=1
y2
2)
y1
W=2
5) W=2
W=2 弹性支座不减少动力自由度 3) 计轴变时 不计轴变时 W=2 W=1
6)
y2
l/2
l/2
l/2
7l 3 2 768EI
l3 3 192EI
1
1 m 1

48EI ml
3
2
1 m 2

768EI 7ml
3
3
1 m 3

192EI ml3
据此可得：ω1‫ ׃‬ω2 ‫ ׃‬ω3= 1 ‫ ׃‬1.512 ‫ ׃‬2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
j d j
弹性力 S (t ) ky(t ) k ( y j yd )
& & & k y & y & W m & y y
d
恒与位移反向 ……………(a)
其中 或
kyj=W
& & y j 0 上式可以简化为 & & & my d kyd 0
及
& & & 0 my ky
……………(b)
由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。 17
2、 柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。
静平衡位置
m
. .
& & y t I t my t
……………(c)
I(t)
& & my t y t 0
23
例1、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
l/2
解：1）求δ
l3 1 48EI
l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
5 l/
l/2
l/2
32
l/
2
P=1
1
1 m 1

48EI ml3
1 l2 l 3l l 5l 7l 3 1 (2 ) EI 6 2 16 2 32 768EI
据此可得：ω1‫ ׃‬ω2 ‫ ׃‬ω3= 1 ‫ ׃‬1.512 ‫ ׃‬2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
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例1、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
l/2
解：1）求δ
l3 1 48EI
l/2
l/2
可得与 (b) 相同的方程
1 k
刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。
18
二、自由振动微分方程的解
& & my ky 0 ……………(b)
改写为
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
k & & y y0 m
2 & & y y 0
其中
2
k m
y(t ) C1 sin t C2 cost
“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类
荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，
由它所引起的内力和变形都是时间的函数。
3
……动力计算的特点、目的和内容
2、动力计算的目的 计算结构的动力反应（动内力，动位移、速度与加速度）。 3、动力计算的内容 研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。
l2
θ =1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ =1
B
3i
i
l
0
A
－i
0
补充：等截面直杆的载常数
单跨超静定梁简图
q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
mAB
B
mBA
ql 2 12
Pl 8
ql 2 12
Pl 8
P
A q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
B B
ql 2 8
3Pl 16

v
y y0 & v0 y
sin t.......... ......(e)
y A sin ,
y(t ) Asin( t )......... .......... ...( f )
2
ห้องสมุดไป่ตู้v
A cos
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定
单自由度体系的自由振动
自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
静平衡位置
m获得初位移y
m获得初速度
& y t
15
研究单自由度体系振动的重要性
1、是工程上一些实际结构的简化。
建筑物基础
水塔的水平振动
2、 它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基 本概念。 要解决的问题包括： 建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼……….
无限自由度体系 x
y(x,t)
自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。
12
实例：
v( t ) θ( t )
u(t)
水平振动时的计算体系
构架式基础顶板简化成刚性块
13
四、动力计算的方法
动力平衡法（达朗伯尔原理）
m
& & P t my t
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规 律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极 值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。
它们的幅值产生于 sin(t ) 1 时，其值分别为：
y A
& & y A 2
I mA 2
既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样， 于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分
积分常数C1，C2由初始条件确定
.......... .....(d )
r 2 pr q 0 r1 , r2 r1 r2 r1,2 i
y e x C1 cos x C2 sin x
19
y C1 C2 x e r2 x
y py qy 0 y C1e r1x C2e r2 x
6
三、动力计算中体系的自由度
确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。 1、集中质量法 (1)把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成 有限自由度问题。
m m>>m梁 m+αm梁
m+αm柱 I
厂房排架水平振 时的计算简图
I
2I
单自由度体系
7
（2）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。
振幅
相位角
v 2 A y 1 y tg v
.......... .........( g) ..........
20
y (t ) y cos t