第1章 质点运动学习题解答1-1 如图所示，质点自A 点沿曲线运动到B 点，A 点和B 点的矢径分别为A r 和B r。

试在图中标出位移r∆和路程s ∆，同时对||r ∆和r ∆的意义及它们与矢径的关系进行说明。

解：r∆和s ∆如图所示。

||r∆是矢径增量的模||A B r r -，即位移的大小；r ∆是矢径模的增量A B A B r r r r -=-||||，即矢径长度的变化量。

1-2 一质点沿y 轴作直线运动，其运动方程为32245t t y -+=（SI ）。

求在计时开始的头3s 内质点的位移、平均速度、平均加速度和所通过的路程。

解：32245t t y -+=，2624t v -=，t a 12-=)(18)0()3(m y y y =-=∆)/(63s m yv =∆=)/(183)0()3(2s m v v a -=-=s t 2=时，0=v ，质点作反向运动)(46|)2()3(|)0()2(m y y y y s =-+-=∆1-3 一质点沿x 轴作直线运动，图示为其t v -曲线图。

设0=t 时，m 5=x 。

试根据t v -图画出：(1)质点的t a -曲线图；(2)质点的t x -曲线图。

解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤+≤≤+-=)106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v（1）dtdva =，可求得： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤+≤≤+-=)106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v质点的t a -曲线图如右图所示（2）dt dxv = ，⎰⎰=t x vdt dx 00，可求得：20≤≤t 时，⎰⎰+-=txdt t dx 05)2020(， 520102+-=t t x62≤≤t 时，⎰⎰⎰+++-=txdt t dt t dx 2205)5.215()2020(， 3015452-+=t t x 106≤≤t 时，⎰⎰⎰⎰-++++-=txdt t dt t dt t dx 662205)5.775()5.215()2020(，210754152-+-=t t x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-+-≤≤-+≤≤+-=∴)106( 21075415)62( 301545)20( 52010222t t t t t t t t t x质点的t x -曲线图如右图所示。

1-4 如图所示，路灯距地面的高度为H ，在与路灯水平距离为s 处，有一气球由离地面h 处开始以匀速率0v 上升（H h <）。

建立图示坐标系，在气球上升的高度小于H 时，求气球影子M 的速度和加速度与影子位置的关系。

解：xs x H t v h -=+0，即t v h H Hs x 0--=Hsx v t v h H HSv dt dxv o 2020)(=--== 223202sH x v dx vdv dt dv a === 1-5 一质点在Oxy 平面内运动，运动方程为j t i t r )219(22-+= (SI)。

(1)求质点运动的轨道方程并画出运动轨道；(2)计算1s 末和2s 末质点的瞬时速度和瞬时加速度；(3)在什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直？这时，它们的x 、y 分量各为多少？(4)在什么时刻质点离原点最近？算出这一距离。

解：j t i t r )219(22-+=，j t i dt r d v 42-==，j dtv d a 4-==(1) t x 2=，2219t y -=消t ，得轨道方程：2192x y -=，其曲线为开口向下的抛物线，如右图。

（2）j i v42)1(-=，j i v 82)2(-=j a4)1(-=，j a 4)2(-=(3)0=⋅r v，0)219(442=--t t t 解得：01=t ，)(32s t =01=t 时，0)0(=x ，19)0(=y ，2)0(=x v ，0)0(=y v 32=t 时，6)3(=x ，1)3(=y ，2)3(=x v ，12)3(-=y v以上物理量均为国际单位。

（4）222)219(4t t r -+=令0=dtdr，解得)(3s t ±= )(08.637)3(m r ==±1-6 一物体沿x 轴运动，其加速度和位置的关系满足x a 62+=(SI)。

物体在0=x 处的速度为10 m/s ，求物体的速度和位置的关系。

解：00=x ，)/(100s m v =dxdv v dt dx dx dv dt dv x =⋅==+62 ⎰⎰+=vx dx x vdv 10)62(100462++=x x v1-7 一质点沿x 轴作直线运动，初始速度为零，初始加速度为0a ，出发后每经过时间间隔τ秒加速度就均匀增加0a ，求出发后t 秒，质点的速度和距出发点的距离。

解：t a a dt dva τ00+==⎰⎰+=vtdt t a a dv 00)(τ2002t a t a v τ+=，dtdxv =⎰⎰+=xtdt t a t a dx 0200)2(τ3020621t a t a x τ+=1-8 一艘正在沿直线行驶的快艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2kv a -=，式中k 为正常数。

试证明快艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为kx e v v -=0，式中0v 是发动机关闭瞬时的速度。

解：dxdvv dt dx dx dv dt dv kv =⋅==-2 ⎰⎰-=vv x kdx v dv00，kx v v -=0ln kx e v v -=01-9 一飞轮的转速在5s 内由900rev/min 均匀地减到800rev/min 。

求：(1)飞轮的角加速度；(2)在此5s 内飞轮的总转数；(3)再经几秒飞轮将停止转动。

解：)/(6029000s rad πω⨯=，)/(602800s rad πω⨯= （1）)/(09.23220s rad t=-=-=πωωβ （2）3251502120ππβωθ-=+=∆t t )(8.702rev N =∆=πθ（3）t βω+=0 )(40s t =-=βω1-10 一质点在水平面内作圆周运动，半径m 2=R ，角速度2kt =ω，式中k 为正常数。

当0=t 时，4/π0-=θ，第2s 末质点的线速度大小为32m/s 。

用角坐标表示质点的运动方程。

解：22kt R v ==ω，s m v /32)2(=，4=k24t dt d ==θω，⎰⎰=-t dt t d 0244θπθ，)(4343rad t πθ-=1-11 一质点沿半径为0.01m 的圆周运动，其运动方程为226t t -=θ(SI)。

求：(1)法向加速度与切向加速度大小恰好相等时的角位置1θ；(2)质点要回头运动时的角位置2θ。

解：226t t -=θ，t dt d 46-==θω，)/(42s rad dtd -==ωβ )/(04.02s m R a t -==β)/()46(01.0222s m t R a n -==ω（1）n t a a =，4)46(2=-t ，解得：)(11s t =，)(22s t =s t 11=时)(41rad =θ s t 22=时)(41rad =θ（2）046=-=t ω解得)(5.1s t =，此时质点要回头运动。

s t 5.11=时)(5.42rad =θ1-12 一质点从静止出发沿半径m 3=R 的圆周运动，切向加速度为3=t a m/s 2。

(1)经过多少时间它的总加速度a恰好与半径成45°角？(2)在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？ 解： 3==dtdva t m/s 2，t dt a v t t 30==⎰（1）n t a a =时，a恰好与半径成45°角33)3(2=t ，解得)(1s t = （2）dt ds v =，⎰⎰=t s tdt ds 003，223t s = )(5.1)1(m s s ==∆ )(5.0r a d Rs=∆=∆θ1-13 质点M 作平面曲线运动，自O 点出发经图示轨迹运动到C 点。

图中，OA 段为直线，AB 、BC 段分别为不同半径的两个1/4圆周。

设0=t 时，M 在O 点，已知运动方程为2530t t s += (SI)，求2=t s 时刻，质点M 的切向加速度和法向加速度的大小。

解：s t 2=时m s 80=此时质点在大圆上t dt dsv 1030+==)/(102s m dt dv a t ==30)1030(22t R v a n +==s t 2=时)/(3.832s m a n =1-14 一质点沿半径为R 的圆周按2021bt t v s -=的规律运动，其中0v 和b 都是常数。

求：(1)质点在t 时刻的加速度；(2)t 为何值时，加速度在数值上等于b ；(3)当加速度大小为b 时质点已沿圆周运行了几圈？解：bt v dt ds v -==0，b dtdva t -==，R bt v R v a n 202)(-== （1）240222)(Rbt v b a a a nt -+=+= （2）b a =，b R bt v b =-+2402)(，00=-bt v ，b v t 0= （3）当加速度大小为b 时，bv t 0=代入得b v s 220=，Rb v R sn ππ4220==1-15 一个半径为0.1=R m 的轻质圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转轴转动。

一根轻绳绕在圆盘的边缘，其自由端悬挂一物体。

若该物体从静止开始匀加速地下降，在2=∆t s 内下降的距离4.0=h m 。

求物体开始下降后3s 末，盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度的大小。

解：221at h =，)/(2.0222s m tha a t === t t a v v t 2.00=+=，s t 3=时)/(6.0s m v =，)/(36.022s m Rv a n ==vv ' 1010雨地v 雨车v 雨车1-16 已知质点在水平面内运动，运动方程为j t t i t r)515(52-+= (SI)，求1=t s 时的法向加速度和切向加速度的大小及轨道曲率半径。

解：j t t i t r )515(52-+=，j t i v )1015(5-+=，j a 10-=1=t s 时，j i v55)1(+=与x 轴成 45，)/(25s m v = )/(2545cos 2s m a a n == )/(2545sin 2s m a a t == )(252m a v n==ρ1-17 公路旁一高为H 的建筑物上有一物体以初速0v 作平抛运动，一汽车以u 的速度在公路上行驶，如图所示。