四川省成都市石室中学2018届高三下学期二诊模拟考试数学试卷（文科）一、选择题1. 是虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C. D.2. 已知全集，集合，那么集合等于（）A. B. C. D.3. 若满足约束条件,则的最小值是（）A. B. C. D.4. 若，,则的值为（）A. B. C. D.5. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B. C. D.6. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A. B. C. D.7. 等比数列中，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，则（）A. B. C. D.9. 已知是双曲线的左、右焦点, 点在上,若,则的离心率为（）A. B. C. D.10. 已知函数，将图像的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位后得到函数，在区间上随机取一个数，则的概率为（）A. B. C. D.11. 若函数的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t,则称函数为“t函数”.下列函数中为“t函数”的是（）①②③④A. ① ②B. ③④C. ①③D. ②④12. 已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A. B. 2 C. D.二、填空题13. 从某小学随机抽取名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取人参加一项活动,则从身高在内的学生中选取的人数应为_____14. 已知数列的各项都为正数，前项和为，若是公差为1的等差数列，且，则_______15. 已知四面体ABCD的所有棱长都为,O是该四面体内一点,且点O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距离分别为,x,和y,则+的最小值是___.16. 为抛物线上一点，且在第一象限，过点作垂直该抛物线的准线于点为抛物线的焦点,为坐标原点, 若四边形的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为_______三、简答题17. 如图，分别是锐角的三个内角的对边，，.（1）求的值；（2）若点在边上且，的面积为14，求的长度.18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损6000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有7辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次性购进70辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示).19. 已知四棱锥的底面为菱形，且平面，，点是中点，点在线段上且满足，.（1）证明：面；（2）求多面体的体积.20. 已知椭圆的离心率为，过椭圆上顶点和右顶点的直线与圆相切,为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为1的直线交椭圆于两点（在轴上方），交轴正半轴于点,若，求的面积.21. 已知，.（1）若在恒成立，求的取值范围；（2）若有两个极值点，，求的范围并证明.选做题22. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若,求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）解不等式（2）若且恒成立，求实数的取值范围．四川省成都市石室中学2018届高三下学期二诊模拟考试数学试卷（文科）试题解析1. 是虚数单位，则复数的虚部为A. B. C. D.【答案】A【解析】,故虚部为,选.2. 已知全集，集合，那么集合等于A. B. C. D.【答案】C【解析】,所以,故选.3. 若满足约束条件,则的最小值是A. B. C. D.【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值为.故选.4. 若，,则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，又，所以，所以＝，故选A．．5. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.6. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为，则此四棱锥最长的侧棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】底面积为,体积为,故最长棱长为,故选.7. 等比数列中，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时,,,为充分条件.当时,,若则,,,,故为不必要条件.综上所述,为充分不必要条件,故选A.8. 已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，则A. B. C. D.【答案】D【解析】函数关于对称,则关于轴对称.所以,即.故选D.9. 已知是双曲线的左、右焦点, 点在上,若,则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】根据可知,所以,代入双曲线方程得,化简得,解得.10. 已知函数，将图像的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位后得到函数，在区间上随机取一个数，则的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】,横坐标伸长倍得,左移得,依题意可知时,,且,所以函数在区间上满足,故概率为.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数的化简,考查二倍角公式和辅助角公式,考查三角函数图像变换,考查直线型的几何概型的求解方法.题目给定一个含有三角函数的解析式,首先考虑将函数化简成为的形式,然后根据图象变换求得的表达式,再根据函数的值域求得使得函数值大于等于的区间,由此求得概率.11. 若函数的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t,则称函数为“t函数”.下列函数中为“t函数”的是①②③④A. ① ②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】B【解析】设切点的横坐标为为,对于①,,所以斜率和为,由于不能同时为零,所以不符合.对于②,所以斜率和为,不符合.排除含有①②的选项,故选.【点睛】本小题主要考查对于新定义的概念的理解,考查函数导数的求解公式,考查导数与切线的对应关系,还考查了函数值的大小.对于新定义题目的求解,主要通过理解新定义中蕴含的新的数学知识,本题中需要切线的斜率之和等于,故将题目所给函数求导后,利用导数和的大小来确定选项.12. 已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于A. B. 2 C. D.【答案】C的最大值与最小值之和为，选C.13. 从某小学随机抽取名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取人参加一项活动,则从身高在内的学生中选取的人数应为_____【答案】；【解析】,解得.三组的比值为,故内取人.14. 已知数列的各项都为正数，前项和为，若是公差为1的等差数列，且，则_______【答案】；【解析】设的首项为,则,所以是首项为,公比为的等比数列,故,所以.15. 已知四面体ABCD的所有棱长都为,O是该四面体内一点,且点O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距离分别为,x,和y,则+的最小值是___.【答案】；【解析】该几何体为正四面体,体积为.各个面的面积为,所以四面体的体积又可以表示为,化简得,故.【点睛】本小题主要考查正四面体体积的计算,考查利用分割法求几何体的体积,考查了方程的思想,考查了利用基本不等式求解和的最小值的方法.首先根据题目的已知条件判断出四面体为正四面体,由于正四面体的棱长给出,所以可以计算出正四面体的体积,根据等体积法求得的一个等式,再利用基本不等式求得最小值.16. 为抛物线上一点，且在第一象限，过点作垂直该抛物线的准线于点为抛物线的焦点,为坐标原点, 若四边形的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为_______【答案】【解析】依题意,由于,所以圆心在的中垂线上,故圆心在直线上.所以的横坐标为,代入抛物线方程求得纵坐标为,所以,设圆心为,圆心到两点的距离相等,即,解得,且半径的平方为,故所求圆的方程为.17. 如图，分别是锐角的三个内角的对边，，.（1）求的值；（2）若点在边上且，的面积为14，求的长度.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】(1)利用正弦定理将已知的边转化为角,化简求得,再利用三角形内角和定理可求得点的值.(2)利用正弦定理和三角形的面积公式列方程组,可求得的值,再由余弦定理可求得的值.【试题解析】（1）由题知，则，，因为锐角，所以，由所以（2）由正弦定理又，解得所以，由余弦定理，，解得18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损6000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有7辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次性购进70辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示).【答案】(1)；(2) ①②元【解析】试题分析：（1）利用等可能事件概率计算公式，能求出一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的概率；（2）①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车，设为，四辆非事故车设为，利用列举法求出从六辆车中随机挑选两辆车的基本事件总和其中两辆车恰好有一辆事故车包含的基本事件个数，由此能求出该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率，②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，由此能求出一辆车盈利的平均值.试题解析：(1)一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为(2)①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为b1，b2,4辆非事故车，设为a1，a2，a3，a4.从6辆车中随机挑选2辆车的情况有(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共15种．其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共8种，所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆事故车的概率为.②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为 (元)．点睛：本题考查概率的求法及应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、列举法的合理运用；在列举过程中要做到不重不漏，最好按照某种规律进行列举.19. 已知四棱锥的底面为菱形，且平面，，点是中点，点在线段上且满足，.（1）证明：面；（2）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析 (2)【解析】【试题分析】(1)根据四边形是菱形,且有一个角为,可得,即,结合,可证得面.(2)利用可求得几何体的体积.【试题解析】（1）由ABC D是菱形，则AB=BC，又，所以是等边三角形，又E是BC中点，则，又，则，由平面，得，，则面;(2)20. 已知椭圆的离心率为，过椭圆上顶点和右顶点的直线与圆相切,为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为1的直线交椭圆于两点（在轴上方），交轴正半轴于点,若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】(1)根据切线过上顶点和右顶点得出切线的方程,利用圆心到直线的距离等于半径列出一个等式,结合离心率和,列方程组可求得的值.(2)设出直线的方程,联立直线方程和椭圆方程,写出韦达定理,利用可得到坐标的关系,联立方程组可求得直线的方程,并求得三角形的面积.【试题解析】（1）设切线为，则又因为，解得，所以椭圆的方程（2）设直线为，联立，得，设，①②由，可得又因为，可得③由①③解得，代入②，解得，【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求解,考查直线和圆相切时的表示方法,考查直线和圆锥曲线的位置关系. 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．21. 已知，.（1）若在恒成立，求的取值范围；（2）若有两个极值点，，求的范围并证明.【答案】(1) (2) 证明见解析【解析】【试题分析】(1)将原不等式分离常数得到,构造函数,利用二阶导数求得的最小值,由此求得的取值范围.(2)求得的阶导数和阶导数,将分类讨论函数的单调区间,求得,并求得函数的单调区间和极值点的大小.化简,由此证得【试题解析】(1)由题:得：设，设：，在单增，在单增，(2) ，，①若时, 知: 在单调递增,不合题意.②若时, 知:在单调递增,在单调递减只需要此时知道：在单减，单增，单减, 且易知:又由又【点睛】本小题主要考查函数的导数与单调性,考查利用导数证明不等式.还考查了恒成立问题的求解方法. 确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.22. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若,求的值.【答案】(1)曲线,直线l的普通方程为(2) 1【解析】【试题分析】(1)对曲线的极坐标方程两边乘以,可求得其直角坐标方程.利用加减消元法消去参数,可求得直线的直角坐标方程.(2)将直线的参数方程代入抛物线的方程,化简后写出韦达定理,利用直线参数的几何意义,结合可求得的值.【试题解析】(1)由=整理得=,∴曲线的直角坐标方程为=,直线的普通方程为=(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程=中,得,设两点对应的参数分别为,则有==,∵=,∴=即=∴=即,解得或者(舍去),∴的值为123. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）解不等式（2）若且恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【试题分析】(1)将原不等式化为,利用零点分段法去绝对值,将函数转化为分段函数来求解得不等式的解集.(2)构造函数,利用零点分段法去绝对值,求得的最大值,这个最大值小于,由此解得的取值范围.【试题解析】（1）不等式．当，，解之得；当时，，解之得；当时，，无解．综上，不等式的解集为（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即．。